V.b 1) Cho hàm số , chứng minh rằng : 2) Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d): 2x-y+m=0, định m để đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho độ dài AB ngắn nhất .

Câu hỏi số 67104:

V.b

1) Cho hàm số $y=ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ , chứng minh rằng : $\frac{1}{y'}=\sqrt{x^{2}+1}$

2) Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng (d): 2x-y+m=0, định m để đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho độ dài AB ngắn nhất .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:67104

Giải chi tiết

TXĐ: D=R

Ta có: $y'=\frac{(x+\sqrt{x^{2}+1})'}{x+\sqrt{x^{2}+1})}$

= $\frac{1+\frac{(x^{2}+1)'}{2\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}$

= $\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\Rightarrow \frac{1}{y'}=\sqrt{x^{2}+1}$ (cmx)

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

$\frac{x+1}{x-1}=2x+m\Leftrightarrow 2x^{2}+(m-3)x-m-1=0 (x\neq 1)(*)$

Đặt $f(x)=2x^{2}+(m-3)x-m-1$

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =(m-3)^{2}+8(m+1)> 0 & \\ f(1)=2+m-3-m-1\neq 0 & \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} (m+2)^{2}+6> 0 & \\ 0m-2\neq 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in R$

Gọi $x_{A},x_{B}$ là hai nghiệm phương trình (*) ta có:

$A(x_{A};2x_{A}+m), B(x_{B};2x_{B}+m_{})\Rightarrow AB^{2}=\frac{5}{4}[(m+1)^{2}+16]\geq 20$

Dấu "=" xảy ra khi m=-1

Vậy khi m=-1 thì AB ngắn nhất

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.