Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} - 2b{x^2} + c{x^{}} + 1\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y =

Câu hỏi số 673529:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} - 2b{x^2} + c{x^{}} + 1\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Giá trị nhỏ nhất của \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) bằng

A. \(\dfrac{4}{3}\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. \(\dfrac{5}{3}\).

D. \(\dfrac{2}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:673529

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức bunhia-copski

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} - 2b{x^2} + c{x^{}} + 1\) có ít nhất 1 giao điểm với trục Ox nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^4} + a{x^3} - 2b{x^2} + cx + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + ax - 2b + \dfrac{c}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2b = {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + ax + \dfrac{c}{x}\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{{ax}}{2} + \dfrac{c}{{2x}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right) = \left[ {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{{ax}}{2} + \dfrac{c}{{2x}}} \right)}^2} + {c^2}} \right]\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right)\\ = \left[ {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{ - {x^2}}}{2} + \dfrac{{ - 1}}{{2{x^2}}} + \dfrac{{ - ax}}{2} + \dfrac{{ - c}}{{2x}}} \right)}^2} + {c^2}} \right]\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right)\\ \le {\left( {\dfrac{{ax}}{2} + \dfrac{{ - {x^2}}}{2} + \dfrac{{ - 1}}{{2{x^2}}} + \dfrac{{ - ax}}{2} + \dfrac{{ - c}}{{2x}} + \dfrac{c}{{2x}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{ - {x^2}}}{2} + \dfrac{{ - 1}}{{2{x^2}}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right) \le {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}} \right)^2}\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}} \right)}^2}}}{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right)}} = g\left( x \right)\end{array}\)

Đặt \(t = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} \Rightarrow {t^2} = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}} \right)^2} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{4{x^4}}}\)

\( \Rightarrow g\left( t \right) = \dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} + \dfrac{1}{2}}}\) với \(t \ge 1\)

\( \Rightarrow g'\left( t \right) = \dfrac{t}{{{{\left( {t + \dfrac{1}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow {g_{\min }} = g\left( 1 \right) = \dfrac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) bằng \(\dfrac{2}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.