Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} - 2b{x^2} + c{x^{}} + 1\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Giá trị nhỏ nhất của \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) bằng

Câu 673529: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} - 2b{x^2} + c{x^{}} + 1\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Giá trị nhỏ nhất của \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) bằng

A. \(\dfrac{4}{3}\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. \(\dfrac{5}{3}\).

D. \(\dfrac{2}{3}\).

Câu hỏi : 673529

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức bunhia-copski

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} - 2b{x^2} + c{x^{}} + 1\) có ít nhất 1 giao điểm với trục Ox nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^4} + a{x^3} - 2b{x^2} + cx + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + ax - 2b + \dfrac{c}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2b = {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + ax + \dfrac{c}{x}\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{{ax}}{2} + \dfrac{c}{{2x}}\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right) = \left[ {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} + \dfrac{{ax}}{2} + \dfrac{c}{{2x}}} \right)}^2} + {c^2}} \right]\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right)\\ = \left[ {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{ - {x^2}}}{2} + \dfrac{{ - 1}}{{2{x^2}}} + \dfrac{{ - ax}}{2} + \dfrac{{ - c}}{{2x}}} \right)}^2} + {c^2}} \right]\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right)\\ \le {\left( {\dfrac{{ax}}{2} + \dfrac{{ - {x^2}}}{2} + \dfrac{{ - 1}}{{2{x^2}}} + \dfrac{{ - ax}}{2} + \dfrac{{ - c}}{{2x}} + \dfrac{c}{{2x}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{ - {x^2}}}{2} + \dfrac{{ - 1}}{{2{x^2}}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right) \le {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}} \right)^2}\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}} \right)}^2}}}{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 1 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right)}} = g\left( x \right)\end{array}\)
Đặt \(t = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}} \Rightarrow {t^2} = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{{2{x^2}}}} \right)^2} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{4{x^4}}}\)
\( \Rightarrow g\left( t \right) = \dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} + \dfrac{1}{2}}}\) với \(t \ge 1\)
\( \Rightarrow g'\left( t \right) = \dfrac{t}{{{{\left( {t + \dfrac{1}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow {g_{\min }} = g\left( 1 \right) = \dfrac{2}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) bằng \(\dfrac{2}{3}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.