Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m}

Câu hỏi số 673797:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right|\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)?

A. 18.

B. 19.

C. 21.

D. 20.

Đáp án đúng là: D

Giải chi tiết

Xets \(f\left( x \right) = {x^3} - m{x^2} + 12x + 2m\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên để \(\left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\f\left( 1 \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) & \left( 1 \right)\\m + 13 \ge 0 & & & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Xét \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0 \Leftrightarrow 2mx \le 3{x^2} + 12 \Leftrightarrow 2m \le 3x + \dfrac{{12}}{x}\)

Xét \(g\left( x \right) = 3x + \dfrac{{12}}{x},\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\(g'\left( x \right) = 3 - \dfrac{{12}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3{x^2} - 12}}{{{x^2}}}\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2} - 12}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Để \(2m \le g\left( x \right),\,\,\forall x > 1 \Leftrightarrow 2m \le 12 \Leftrightarrow m \le 6\)

Từ (1) và (2) suy ra \( - 13 \le m \le 6\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 13; - 12; \ldots ;5;6} \right\}\)

Chọn D

Xem lời giải

Câu hỏi:673797

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.