Biết \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác

Câu hỏi số 673799:

Vận dụng

Biết \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 4}}{{x + 1}}\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(AB\) nhỏ nhất. Tính \(P = y_A^2 + y_B^2 - {x_A}{x_B}\)

A. \(10\).

B. \(6\).

C. \(10 - \sqrt 3 \).

D. \(6 - 2\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: A

Giải chi tiết

Ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ, TCN lần lượt là \(x = - 1,\,\,y = 1\)

Gọi \(I\left( { - 1;1} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận

Khi đó \(I\) là tâm đối xứng của đồ thị \(y = \dfrac{{x + 4}}{{x + 1}}\)

Giả sử \(A\) thuộc nhánh phải của đồ thị, \(B\) thuộc nhánh trái của đồ thị

Khi đó \(A\left( {a - 1;\dfrac{{a + 3}}{a}} \right),\,\,a > 0;\,\,B\left( { - 1 - b;\dfrac{{b - 3}}{b}} \right),\,\,b > 0\)

Ta có: \(A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + \dfrac{{9{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\)

Ta có: \({a^2}{b^2} \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}}{{16}} \Rightarrow \dfrac{{9{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}}} \ge \dfrac{{144}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy: \(A{B^2} \ge {\left( {a + b} \right)^2} + \dfrac{{144}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 3\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}.\dfrac{{144}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} = 36\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\{\left( {a + b} \right)^4} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 3 \)

Khi đó \(A\left( {\sqrt 3 - 1;\sqrt 3 + 1} \right),\,\,B\left( { - 1 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\)

Vậy \(P = y_A^2 + y_B^2 - {x_A}{x_B} = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 10\)

Chọn A

Xem lời giải

Câu hỏi:673799

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.