Biết \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác
Biết \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 4}}{{x + 1}}\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(AB\) nhỏ nhất. Tính \(P = y_A^2 + y_B^2 - {x_A}{x_B}\)
Đáp án đúng là: A
Ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ, TCN lần lượt là \(x = - 1,\,\,y = 1\)
Gọi \(I\left( { - 1;1} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận
Khi đó \(I\) là tâm đối xứng của đồ thị \(y = \dfrac{{x + 4}}{{x + 1}}\)
Giả sử \(A\) thuộc nhánh phải của đồ thị, \(B\) thuộc nhánh trái của đồ thị
Khi đó \(A\left( {a - 1;\dfrac{{a + 3}}{a}} \right),\,\,a > 0;\,\,B\left( { - 1 - b;\dfrac{{b - 3}}{b}} \right),\,\,b > 0\)
Ta có: \(A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + \dfrac{{9{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\)
Ta có: \({a^2}{b^2} \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}}{{16}} \Rightarrow \dfrac{{9{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}}} \ge \dfrac{{144}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)
Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy: \(A{B^2} \ge {\left( {a + b} \right)^2} + \dfrac{{144}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 3\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}.\dfrac{{144}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} = 36\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\{\left( {a + b} \right)^4} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 3 \)
Khi đó \(A\left( {\sqrt 3 - 1;\sqrt 3 + 1} \right),\,\,B\left( { - 1 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\)
Vậy \(P = y_A^2 + y_B^2 - {x_A}{x_B} = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 10\)
Chọn A
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com