Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) thuộc
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) thuộc cạnh \(CD\) thỏa \(\dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{1}{3}\). Mặt phẳng \(\left( {A'MN} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, gọi \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứa điểm \(A\). Tính thể tích của khối đa diện \(\left( H \right)\) theo \(a\).
Đáp án đúng là: B
- Dựng thiết diện của \(\left( {A'MN} \right)\) với hình lập phương
Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là giao điểm của \(AB,\,\,AD\)
\(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(A'E\) với \(BB'\) và \(A'F\) với \(DD'\)
Ta có: \({V_{\left( H \right)}} = {V_{AEA'F}} - {V_{QDNF}} - {V_{PBEM}}\)
Ta có: \(\dfrac{{DF}}{{MC}} = \dfrac{{DN}}{{NC}} = 2 \Rightarrow DF = a\)
\(\dfrac{{BE}}{{AE}} = \dfrac{{BM}}{{AF}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{AA'}} = \dfrac{{BE}}{{AE}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow PB = \dfrac{1}{4}AA' = \dfrac{a}{4}\)
\(\dfrac{{QD}}{{AA'}} = \dfrac{{DF}}{{FA}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow QD = \dfrac{a}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{V_{\left( H \right)}} = {V_{AEA'F}} - {V_{QDNF}} - {V_{PBEM}} = \dfrac{1}{6}\left( {AA'.AE.AF - DQ.DN.DF - BP.BE.BM} \right)\\ = \dfrac{1}{6}\left( {a.\dfrac{{4a}}{3}.2a - \dfrac{a}{2}.\dfrac{{2a}}{3}.a - \dfrac{a}{4}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{2}} \right)\\ = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{55}}{{24}}{a^3} = \dfrac{{55}}{{144}}{a^3}\end{array}\)
Chọn B
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com