Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) thuộc

Câu hỏi số 673806:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) thuộc cạnh \(CD\) thỏa \(\dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{1}{3}\). Mặt phẳng \(\left( {A'MN} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, gọi \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứa điểm \(A\). Tính thể tích của khối đa diện \(\left( H \right)\) theo \(a\).

A. \(\dfrac{{53{a^3}}}{{137}}\).

B. \(\dfrac{{53{a^3}}}{{144}}\).

C. \(\dfrac{{47{a^3}}}{{154}}\).

D. \(\dfrac{{65{a^3}}}{{113}}\).

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

- Dựng thiết diện của \(\left( {A'MN} \right)\) với hình lập phương

Giải chi tiết

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là giao điểm của \(AB,\,\,AD\)

\(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(A'E\) với \(BB'\) và \(A'F\) với \(DD'\)

Ta có: \({V_{\left( H \right)}} = {V_{AEA'F}} - {V_{QDNF}} - {V_{PBEM}}\)

Ta có: \(\dfrac{{DF}}{{MC}} = \dfrac{{DN}}{{NC}} = 2 \Rightarrow DF = a\)

\(\dfrac{{BE}}{{AE}} = \dfrac{{BM}}{{AF}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{AA'}} = \dfrac{{BE}}{{AE}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow PB = \dfrac{1}{4}AA' = \dfrac{a}{4}\)

\(\dfrac{{QD}}{{AA'}} = \dfrac{{DF}}{{FA}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow QD = \dfrac{a}{2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{\left( H \right)}} = {V_{AEA'F}} - {V_{QDNF}} - {V_{PBEM}} = \dfrac{1}{6}\left( {AA'.AE.AF - DQ.DN.DF - BP.BE.BM} \right)\\ = \dfrac{1}{6}\left( {a.\dfrac{{4a}}{3}.2a - \dfrac{a}{2}.\dfrac{{2a}}{3}.a - \dfrac{a}{4}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{2}} \right)\\ = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{55}}{{24}}{a^3} = \dfrac{{55}}{{144}}{a^3}\end{array}\)

Chọn B

Xem lời giải

Câu hỏi:673806

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.