Cho hình chóp \(S.ABC\) với \(SA = 2,\,\,BC = 2\). Một hình cầu bán kính 4 tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại \(C\), tiếp xúc với \(SA\) tại \(S\) và cắt \(SB\) tại điểm thứ hai \(D\) sao cho \(CD\) đi qua tâm của hình cầu. Tính thể tích hình chóp \(S.ABC\)
Câu 673805: Cho hình chóp \(S.ABC\) với \(SA = 2,\,\,BC = 2\). Một hình cầu bán kính 4 tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại \(C\), tiếp xúc với \(SA\) tại \(S\) và cắt \(SB\) tại điểm thứ hai \(D\) sao cho \(CD\) đi qua tâm của hình cầu. Tính thể tích hình chóp \(S.ABC\)
A. \(2\).
B. \(12\).
C. \(13\).
D. \(14\).
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)
Xét \(\Delta SOM\) và \(\Delta COM\) ta có:
\(\begin{array}{l}SO = CO\\OM\,\,chung\\MS = MC\\ \Rightarrow \Delta SOM = \Delta COM\,\,\left( {c.c.c} \right)\\ \Rightarrow \angle MSO = \angle MCO = {90^0}\\ \Rightarrow SM \bot SO\end{array}\)
Mà \(SA \bot SO \Rightarrow SO \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow SO \bot AM\)
Mà \(AM \bot OC \Rightarrow AM \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow AM \bot BC\)
Do đó \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SM = \dfrac{{BC}}{2} = 1\\AM = \sqrt {S{A^2} - S{M^2}} = \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Tam giác \(SCD\) nội tiếp trong mặt cầu nên \(\Delta SCD\) vuông tại \(S\)
Xét \(\Delta BCD\) có \(CS \bot BD\): \(CS = \dfrac{{BC.CD}}{{\sqrt {B{C^2} + C{D^2}} }} = \dfrac{{2.8}}{{\sqrt {{2^2} + {8^2}} }} = \dfrac{8}{{\sqrt {17} }}\)
Kẻ \(SH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\)
Khi đó \(CH = \dfrac{{C{S^2}}}{{BC}} = \dfrac{{32}}{{17}} \Rightarrow SH = \sqrt {C{S^2} - C{H^2}} = \dfrac{8}{{17}}\)
Vậy \({V_{SABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{8}{{17}}.\dfrac{1}{2}.\sqrt 3 .2 = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{{51}}\)
Chọn B
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com