Cho hình chóp \(S.ABC\) với \(SA = 2,\,\,BC = 2\). Một hình cầu bán kính 4 tiếp xúc với mặt phẳng

Câu hỏi số 673805:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) với \(SA = 2,\,\,BC = 2\). Một hình cầu bán kính 4 tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại \(C\), tiếp xúc với \(SA\) tại \(S\) và cắt \(SB\) tại điểm thứ hai \(D\) sao cho \(CD\) đi qua tâm của hình cầu. Tính thể tích hình chóp \(S.ABC\)

A. \(2\).

B. \(12\).

C. \(13\).

D. \(14\).

Đáp án đúng là: B

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)

Xét \(\Delta SOM\) và \(\Delta COM\) ta có:

\(\begin{array}{l}SO = CO\\OM\,\,chung\\MS = MC\\ \Rightarrow \Delta SOM = \Delta COM\,\,\left( {c.c.c} \right)\\ \Rightarrow \angle MSO = \angle MCO = {90^0}\\ \Rightarrow SM \bot SO\end{array}\)

Mà \(SA \bot SO \Rightarrow SO \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow SO \bot AM\)

Mà \(AM \bot OC \Rightarrow AM \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow AM \bot BC\)

Do đó \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SM = \dfrac{{BC}}{2} = 1\\AM = \sqrt {S{A^2} - S{M^2}} = \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Tam giác \(SCD\) nội tiếp trong mặt cầu nên \(\Delta SCD\) vuông tại \(S\)

Xét \(\Delta BCD\) có \(CS \bot BD\): \(CS = \dfrac{{BC.CD}}{{\sqrt {B{C^2} + C{D^2}} }} = \dfrac{{2.8}}{{\sqrt {{2^2} + {8^2}} }} = \dfrac{8}{{\sqrt {17} }}\)

Kẻ \(SH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\)

Khi đó \(CH = \dfrac{{C{S^2}}}{{BC}} = \dfrac{{32}}{{17}} \Rightarrow SH = \sqrt {C{S^2} - C{H^2}} = \dfrac{8}{{17}}\)

Vậy \({V_{SABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{8}{{17}}.\dfrac{1}{2}.\sqrt 3 .2 = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{{51}}\)

Chọn B

Xem lời giải

Câu hỏi:673805

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.