Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x\sqrt

Câu hỏi số 673807:

Vận dụng cao

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x\sqrt {{x^4} + 1} }}\) với \(x > 0\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 1\). Biết \(F\left( 2 \right) = \ln \left( {\dfrac{{a + \sqrt b }}{{2\sqrt 2 }}} \right) + 1\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương. Tính \(a + b\)

A. \(599,40\) triệu.

B. \(398,20\) triệu.

C. \(529,14\) triệu.

D. \(404,13\) triệu.

Đáp án đúng là: B

Giải chi tiết

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)dx}}{{x\sqrt {{x^4} + 1} }} = \int {\dfrac{{1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}dx = \int {\dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}}{{\sqrt {{{\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)}^2} + 2} }}} } } \)

Đặt \(u = x - \dfrac{1}{x} \Rightarrow du = \left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\)

Khi đó \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{du}}{{\sqrt {{u^2} + 2} }}} \)

Đặt \(t = u + \sqrt {{x^2} + 2} \Rightarrow dt = \left( {1 + \dfrac{u}{{\sqrt {{u^2}} + 2}}} \right)du \Rightarrow dt = \dfrac{{\sqrt {{u^2} + 2} + u}}{{\sqrt {{u^2} + 2} }}du \)

\(\Rightarrow dt = \dfrac{{tdu}}{{\sqrt {{u^2} + 2} }} \Rightarrow \dfrac{du}{\sqrt {u^2 + 2}} = \dfrac{{dt}}{t}\)

Khi đó \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{dt}}{t} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {u + \sqrt {{u^2} + 2} } \right| + C = \ln \left| {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right) + \sqrt {{{\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)}^2} + 2} } \right| + C}\)

Mà \(F\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 - \ln \sqrt 2 \)

Do đó \(F\left( x \right) = \left| {\ln \left( {x - \dfrac{1}{x}} \right) + \sqrt {{{\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)}^2} + 2} } \right| + 1 - \ln \sqrt 2 \)

Vậy \(F\left( 2 \right) = \ln \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}} \right) + 1 - \ln \sqrt 2 = \ln \left( {\dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{{2\sqrt 2 }}} \right) + 1\)

Vậy \(a = 3,\,\,b = 17 \Rightarrow a + b = 20\)

Chọn B

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:673807

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.