Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a,SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi M, N

Câu hỏi số 674706:

Thông hiểu

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a,SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên cạnh SB và SD

a) Góc giữa hai đường thẳng SB và CD là \({60^\circ }\).

b) \(BD \bot (SAC)\).

c) \(SC \bot (AMN)\).

d) Cos góc giữa hai đường thẳng AM và AN là \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:674706

Giải chi tiết

a) Ta có \(\left( {SB,CD} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \angle SBA\)

\(\tan SBA = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle SBA = {60^0}\)

b) Do ABCD là hình vuông nên \(BD \bot AC\).

Mà \(BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\AM \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot SC\) (1)

Tương tự thì \(CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AN \Rightarrow AN \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AN \bot SC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {AMN} \right)\)

d) Do \(\Delta SAB = \Delta SAD\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AM = AN\) và \(MN\parallel BD\)

Ta có \(SB = SD = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} = 2a \Rightarrow AM = \dfrac{{SA.AB}}{{SB}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

\(SM = \dfrac{{S{A^2}}}{{SB}} \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow MN = \dfrac{3}{4}BD = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{4}\)

\( \Rightarrow \cos MAN = \dfrac{{A{M^2} + A{N^2} - M{N^2}}}{{2AM.AN}} = \dfrac{1}{4}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.