Phương trình \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm

Câu hỏi số 675486:

Vận dụng

Phương trình \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675486

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {\cot x} \right) - {\log _2}\left( {\cos x} \right) = 0\)

Xét \(f\left( x \right) = 2{\log _3}\left( {\cot x} \right) - {\log _2}\left( {\cos x} \right),\,\,x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 2.\dfrac{{\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}{{\cot x.\ln 3}} + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x.\ln 2}} > 0,\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Suy ra \(f\left( x \right) = 0\) có tối đa 1 nghiệm thuộc \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2{{\log }_3}\left( {\cot x} \right) - {{\log }_2}\left( {\cos x} \right)} \right] = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \dfrac{\pi }{2}} \left[ {2{{\log }_3}\left( {\cot x} \right) - {{\log }_2}\left( {\cos x} \right)} \right] = - \infty \)

Suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.