Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\), lấy điểm \(C\) thuộc \((O)\)(\(C\) khác \(A\) và \(B\)),

Câu hỏi số 676615:

Vận dụng

Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\), lấy điểm \(C\) thuộc \((O)\)(\(C\) khác \(A\) và \(B\)), tiếp tuyến của đườngtròn \((O)\) tại \(B\) cắt \(AC\) ở \(K.\) Từ \(K\) kẻ tiếp tuyến \(KD\) với đường tròn \((O)\)(\(D\) là tiếp điểm khác \(B\)).

a) Chứng minh tứ giác \(BODK\) nội tiếp.

b) Biết \(OK\)cắt \(BD\) tại \(I.\) Chứng minh rằng \(OI \bot BD\) và \(KC \cdot KA = KI \cdot KO.\)

c) Gọi \(E\) là trung điểm của \(AC,\) kẻ đường kính \(CF\) của đường tròn \((O),\) \(FE\) cắt \(AI\) tại \(H.\) Chứng minh rằng \(H\) là trung điểm của \(AI\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676615

Phương pháp giải

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh \(K{B^2} = KC.KA\) và \(K{B^2} = KI \cdot KO.\)

c) Chứng minh \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \({\rm{EF}}\,{\rm{//}}\,{\rm{CI}}\) từ đó suy ra \(H\) là trung điểm của \(AI\).

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle {OBK} = \angle {ODK} = {90^ \circ }.\)

\( \Rightarrow \angle {OBK} + \angle {ODK} = {180^ \circ }.\)

Do đó tứ giác \(BODK\) nội tiếp

b) Ta có \(KB = KD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta lại có \(OB = OD\) nên \(OK\) là đường trung trực của \(BD\). Suy ra\(KO \bot BD \Rightarrow OI \bot BD.\)

Xét tam giác \(ABK\) vuông tại \(B\) nên \(K{B^2} = KC.KA.\)

Xét tam giác \(OBK\) vuông tại \(B\) nên \(K{B^2} = KI \cdot KO.\)

Suy ra \(KC.KA = KI.KO.\) (đpcm)

c) Xét tam giác \(KCI\) và tam giác \(KOA\) ta có góc \(K\) chung, \(KC \cdot KA = KI \cdot KO \Leftrightarrow \dfrac{{KC}}{{KI}} = \dfrac{{KO}}{{KA}}\).

Suy ra tam giác \(KCI\) và tam giác \(KOA\) đồng dạng với nhau. Suy ra \(\angle {KCI} = \angle {KOA}\). (*)

Xét tam giác \(ACF\) và \(BAK\) có \(\angle {KBA} = \angle {C{\rm{AF}}} = {90^\circ }.\) (1)

Mà tam giác \(O{\rm{AC}}\) cân tại \(O\) nên \(\angle {OAC} = \angle {OCA}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta ACF\) đồng dạng với \(\Delta BAK\) suy ra \(\dfrac{{BA}}{{BK}} = \dfrac{{AC}}{{{\rm{AF}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{2BO}}{{BK}} = \dfrac{{2AE}}{{{\rm{AF}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{BK}}{{{\rm{AF}}}} = \dfrac{{BO}}{{AE}}\).

Xét tam giác \(AEF\) và \(BOK\) ta có \(\angle {KBO} = \angle {E{\rm{AF}}} = {90^\circ }\) và \(\dfrac{{BK}}{{{\rm{AF}}}} = \dfrac{{BO}}{{AE}}\)

Nên \(\Delta AEF\) đồng dạng với \(\Delta BOK\) suy ra

\(\angle {AEF} = \angle {BOK} \Rightarrow \angle {K{\rm{EF}}} = \angle {KOA}\)( cùng bù với \(\angle {AEF}\)) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(\angle {KCI} = \angle {K{\rm{EF}}}\) suy ra \({\rm{EF}}\,{\rm{//}}\,{\rm{CI}}\).

Xét tam giác \(ACI\) có \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \({\rm{EF}}\,{\rm{//}}\,{\rm{CI}}\) nên \(H\) là trung điểm của \(AI\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link