Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 chiều cao bằng 6, một khối trụ có bán kính đáy thay đổi
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 chiều cao bằng 6, một khối trụ có bán kính đáy thay đổi nội tiếp khối nón đã cho (như hình vẽ). Khi thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi bán kính của khối trụ là \(x\,\,\left( {0 < x < 3} \right)\), chiều cao của khối trụ là \(h = OO'\,\left( {0 < h < 6} \right)\).
Tính thể tích theo x hoặc h rồi tìm GTLN
Gọi bán kính của khối trụ là \(x\,\,\left( {0 < x < 3} \right)\), chiều cao của khối trụ là \(h = OO'\,\left( {0 < h < 6} \right)\).
Khi đó thể tích khối trụ là: \(V = \pi {x^2}h\).
Ta có: \(\Delta SO'N\) đồng dạng với \(\Delta SOB\) nên có
\(\dfrac{{O'N}}{{OB}} = \dfrac{{SO'}}{{SO}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{{6 - h}}{6} \Leftrightarrow h = 6 - 2x\).
Suy ra \(V = \pi {x^2}h = \pi {x^2}\left( {6 - 2x} \right) = \pi \left( {6{x^2} - 2{x^3}} \right)\).
Xét hàm \(f\left( x \right) = 6{x^2} - 2{x^3},\,\,\,\left( {0 < x < 3} \right)\).
\(f'\left( x \right) = 12x - 6{x^2}\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( l \right)\\x = 2\,\,\left( n \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Do đó \(V\) lớn nhất khi hàm \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Vậy thể tích của khối trụ lớn nhất là \(V = 8\pi \) khi bán kính khối trụ bằng \(r = 2 \Rightarrow h = 2\)
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ bằng \(2\pi rh + 2\pi {r^2} = 16\pi .\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
