Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(I\) cạnh \(AB = 3a\), \(BC = 4a\). Hình

Câu hỏi số 677459:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(I\) cạnh \(AB = 3a\), \(BC = 4a\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm của \(ID\). Biết rằng \(SB\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \(45^\circ \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{{25\pi }}{2}{a^2}\).

B. \(\dfrac{{125\pi }}{4}{a^2}\).

C. \(\dfrac{{125\pi }}{2}{a^2}\).

D. \(4\pi {a^2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677459

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của \(ID\), \(F\) là trung điểm của \(SB\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), vẽ \(IT\) song song với \(SE\) và cắt \(EF\) tại \(T\).

Ta có \(SE \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(\angle {SBE} = \left[ {SB;\left( {ABC{\rm{D}}} \right)} \right] = 45^\circ \).

Suy ra \(\Delta SBE\) vuông cân tại \(E\).

Suy ra \(EF\) là trung trực của \(SB\).

Suy ra \(TS = TB\). (1)

Ta có \(IT\parallel SE\), suy ra \(IT \bot \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(IT\) là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\).

Suy ra \(TA = TB = TC = TD\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(T\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\), suy ra \(IB = ID = \dfrac{5}{2}a\).

Do \(E\) là trung điểm của \(ID\) nên \(IE = \dfrac{1}{2}ID = \dfrac{5}{4}a\).

\(\Delta BEF\) vuông tại \(F\) có \(\angle {EBF} = 45^\circ \) nên \(\Delta BEF\) vuông cân tại \(F\).

\(\Delta EIT\) vuông tại \(I\) có \(\angle {IET} = 45^\circ \) nên \(\Delta EIT\) vuông cân tại \(I\). Suy ra \(IT = IE = \dfrac{5}{4}a\).

Do \(\Delta BIT\) vuông tại \(I\) nên \(TB = \sqrt {I{B^2} + I{T^2}} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{4}a\).

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) là \(S = 4\pi T{B^2} = \dfrac{{125\pi }}{4}{a^2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.