Cho tam giác \(ABC\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Tiếp

Câu hỏi số 677805:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(K\). Từ \(O\) kẻ \(OD\) vuông góc với \(BC\) tại \(D\), tia \(OD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\).

a) Chứng minh tứ giác \(KDOA\) nội tiếp.

b) Đường thẳng \(AE\) cắt \(BC\) tại \(N\). Chứng minh tam giác \(KNA\) cân và \(K{N^2} = KB.KC\)

c) Kẻ tiếp tuyến \(KM\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M\) là tiếp điểm). Chứng minh tia \(MN\) và tia \(ED\) cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677805

Giải chi tiết

a) Do \(OD \bot BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ODK = {90^0}\)

Do \(KA\) là tiếp tuyến của \(O\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OA \bot KA \Rightarrow \angle OAK = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle ODK + \angle OAK = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \(KDOA\) nội tiếp (dhnb) (đpcm)

b) Ta có: \(OB = OC\) (cùng bằng bán kính của \(\left( O \right)\)) nên \(\Delta OBC\) cân tại \(O\), đường cao \(OD\)

\( \Rightarrow OD\) đồng thời là phân giác (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle EOB = \angle EOC\)

Do đó cung BE = cung CE (hai góc ở tâm bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)

Ta có: \(\angle ANK = \dfrac{1}{2}\left( {sdAB + sdCE} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {sdAB + sdBE} \right) = \dfrac{1}{2}sdAE = \angle KAE\) (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

\( \Rightarrow \Delta AKN\) cân tại \(K\)

Xét \(\Delta KAB\) và \(\Delta KCA\) có:

\(\angle AKC\) chung

\(\angle KAB = \angle KCA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AB\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta KAB\~\Delta KCA\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{KA}}{{KC}} = \dfrac{{KB}}{{KA}}\\ \Rightarrow K{A^2} = KB.KC\end{array}\)

Mà \(\Delta AKN\) cân tại \(K \Rightarrow KA = KN \Rightarrow K{N^2} = KB.KC\) (đpcm)

c) Do \(KM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(KM = KA\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(KA = KN\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(KA = KM = KN\)

Do đó \(\Delta KMN\) cân tại \(K\)

\( \Rightarrow \angle KNM = \angle KMN\)

Ta có: \(\angle BMN = \angle KMN - \angle KMB\) và \(\angle NMC = \angle KNM - \angle KCM\) (tính chất góc ngoài tam giác \(NCM\))

Mà \(\angle KCM = \angle KMB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BM\))

Do đó \(\angle BMN = \angle NMC\)

Gọi \(P\) là giao điểm của \(MN\) với \(\left( O \right)\) thì \(\angle BMP = \angle CMP\)

Do đó cung PB = cung PC

\( \Rightarrow P\) là điểm chính giữa cung lớn \(BC\)

Mà cung BE = cung CE nên \(E\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(BC\)

\( \Rightarrow PE\) là đường trung trực của \(BC\)

Mà \(OB = OC\left( { = R} \right)\) nên \(O\) thuộc trung trực \(BC\)

Do đó \(P,\,\,E,\,\,O,\,\,D\) thẳng hàng

Vậy \(MN,\,\,ED\) cắt nhau tại một điểm \(P\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link