Cho \(x,y\) là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn \(4{x^2} + 9{y^2} = 10\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 679983:

Vận dụng cao

Cho \(x,y\) là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn \(4{x^2} + 9{y^2} = 10\). Chứng minh rằng \(\dfrac{{{{(2x + 9y)}^3}}}{{4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 4x - 8y + 55}} \le 20\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:679983

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết

Vì \(x,y\) là các số thực dương nên áp dụng bất đẳng thức \(AM - GM\) ta có:

\(4{x^2} + 1 \ge 2\sqrt {4{x^2}} \Leftrightarrow 4{x^2} + 1 \ge 4x.\)

\(9{y^2} + 9 \ge 2\sqrt {81{y^2}} \Leftrightarrow 9{y^2} + 9 \ge 18y.\)

Do đó \(4{x^2} + 9{y^2} + 10 \ge 4x + 18y \Leftrightarrow 2x + 9y \le 10\).
Ta có: \(4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 4x - 8y + 55 = 4{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + 4{(y - 1)^2} + 50\)
Vì \(4{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,4{(y - 1)^2} \ge 0\) nên \(4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 4x - 8y + 55 \ge 50\).
Từ (1), (2) suy ra \(\dfrac{{{{(2x + 9y)}^3}}}{{4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 4x - 8y + 55}} \le \dfrac{{{{10}^3}}}{{50}} = 20\).
Dấu "=" của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{1}{2}}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link