Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(\angle {ACB} = {30^ \circ }\). Gọi \(M\) là trung điểm của
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(\angle {ACB} = {30^ \circ }\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), điểm \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
a. Chứng minh rằng \(\angle {AMC} = \angle {AIC} = {120^ \circ }\).
b. Gọi \(N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(MI\) và \(AC\). Chứng minh rằng \(AB = AN\).
Quảng cáo
a. Chứng minh rằng \(\angle {AMC} = \angle {AIC} = {120^ \circ }\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có \(AM\) là đường trung tuyến nên \(MA = MB = MC\).
Vì \(\Delta MAC\) cân tại \(M\) và \(\angle {MCA} = {30^ \circ }\) (gt) nên \(\angle {AMC} = {180^ \circ } - {60^ \circ } = {120^ \circ }\).
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) nên \(AI,CI\) lần lượt là đường phân giác trong của \(\angle {BAC},\angle {ACB}\).
Suy ra \(\angle {BAI} = \angle {IAC} = {45^ \circ };\angle {ACI} = \angle {ICM} = {15^ \circ }\).
Do đó \(\angle {AIC} = {180^ \circ } - \left( {{{45}^ \circ } + {{15}^ \circ }} \right) = {120^ \circ }\).
Vâyy \(\angle {AMC} = \angle {AIC} = {120^ \circ }\).
b. Chứng minh rằng \(AB = AN\).
Theo ý a, suy ra tứ giác \(AIMC\) nội tiếp đường tròn.
Suy ra \(\angle {IMC} = {180^ \circ } - \angle {IAC} = {135^ \circ }\).
Do đó \(\angle {MNC} = {180^ \circ } - \left( {\angle {NMC} + \angle {MCN}} \right) = {15^ \circ }\).
Vì \(\angle {NMA} = \angle {MNA} = {15^ \circ }\) nên \(\Delta ANM\) cân tại \(A\). Suy ra \(AN = AM\).
Trong \(\Delta ABM\) có \(MB = MA\) và \(\angle {ABM} = {60^ \circ }\) (gt).
Suy ra \(AB = MA = MB\).
Từ (1), (2) suy ra \(AB = AN\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
