Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn \(xy + yz + zx = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:P =

Câu hỏi số 680382:

Vận dụng cao

Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn \(xy + yz + zx = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = \(\dfrac{{2x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} - {x^2} - 28{y^2} - 28{z^2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680382

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(\dfrac{{2x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + xy + yz + zx} }} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }}\) \( \le \) \(\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{x}{{x + z}}\)

\(\dfrac{y}{{\sqrt {{y^2} + xy + yz + zx} }} = \dfrac{y}{{\sqrt {\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)} }}\) \( \le \) \(\dfrac{1}{4}.\dfrac{y}{{y + z}} + \dfrac{x}{{y + x}}\)

\(\dfrac{z}{{\sqrt {{z^2} + xy + yz + zx} }} = \dfrac{z}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}\) \( \le \) \(\dfrac{1}{4}.\dfrac{z}{{z + y}} + \dfrac{x}{{z + x}}\)

\(\dfrac{{2x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }}\) \( \le \) 1 + 1 + \(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{9}{4}\) (1)

Và ta có: \({x^2} + 28{y^2} + 28{z^2} = \dfrac{1}{2}{\left( {x - 7x} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {x - 7z} \right)^2} + \dfrac{7}{2}{\left( {y - z} \right)^2} + 7 \ge 7{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)\)

Dấu "=" của các bất đẳng thức (1), (2) xảy ra khi \(x = 7y = 7z\)và \(xy + yz + zx = 1\) khi và chỉ khi

\(y = z = \dfrac{{\sqrt {15} }}{{15}}\);\(x = \dfrac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\)

Từ (1), (2) có \(P < \dfrac{9}{4} - 7 = - \dfrac{{19}}{4}\) suy ra MaxP = 7 \( \Leftrightarrow y = z = \dfrac{{\sqrt {15} }}{{15}}\;\); \(x = \dfrac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\)

Vậy MaxP = \(\dfrac{{ - 19}}{4}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link