Với \(x > 0\), cho các biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x

Câu hỏi số 680524:

Vận dụng

Với \(x > 0\), cho các biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 64\).
b) Rút gọn biểu thức \(B\).
c) Tìm \(x\) để \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680524

Phương pháp giải

a) Thay \(x = 64\) vào biểu thức A và tính.

b) Quy đồng và rút gọn biểu thức.

c) Tìm \(\dfrac{A}{B}\) từ đó cho \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2}\) và tìm \(x\).

Giải chi tiết

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 64\).

Ta có: \(x = 64\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0\)).

Khi đó: \(A = \dfrac{{\sqrt {64} - 1}}{{\sqrt {64} }} = \dfrac{{8 - 1}}{8} = \dfrac{7}{8}{\rm{.\;}}\)

Vậy \(A = \dfrac{7}{8}\) khi \(x = 64\).
b) Rút gọn biểu thức \(B\).

Ta có: \(B = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \dfrac{{x - 1 - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}{\rm{.\;}}\)

Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x > 0\).
c) Tìm \(x\) dể \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2}\).

Ta có: \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}:\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} > \dfrac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > \dfrac{3}{2}\)

(ĐKХĐ: \(x > 0\) và \(x \ne 1\))
\( \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} - \dfrac{3}{2} > 0 \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x + 2 - 3\sqrt x }}{{2\sqrt x }} > 0 \Rightarrow 2 - \sqrt x > 0\) (vì \(x > 0)\)
Khi đó \(\sqrt x < 2\) hay \(x < 4\).
Kết hợp điều kiện, ta được \(0 < x < 4\) và \(x \ne 1\).
Vậy \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2}\) khi \(0 < x < 4\) và \(x \ne 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link