Với \(x > 0\), cho các biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x

Câu hỏi số 680524:

Vận dụng

Với \(x > 0\), cho các biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 64\).
b) Rút gọn biểu thức \(B\).
c) Tìm \(x\) để \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680524

Phương pháp giải

a) Thay \(x = 64\) vào biểu thức A và tính.

b) Quy đồng và rút gọn biểu thức.

c) Tìm \(\dfrac{A}{B}\) từ đó cho \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2}\) và tìm \(x\).

Giải chi tiết

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 64\).

Ta có: \(x = 64\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0\)).

Khi đó: \(A = \dfrac{{\sqrt {64} - 1}}{{\sqrt {64} }} = \dfrac{{8 - 1}}{8} = \dfrac{7}{8}{\rm{.\;}}\)

Vậy \(A = \dfrac{7}{8}\) khi \(x = 64\).
b) Rút gọn biểu thức \(B\).

Ta có: \(B = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \dfrac{{x - 1 - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}{\rm{.\;}}\)

Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x > 0\).
c) Tìm \(x\) dể \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2}\).

Ta có: \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}:\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} > \dfrac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > \dfrac{3}{2}\)

(ĐKХĐ: \(x > 0\) và \(x \ne 1\))
\( \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} - \dfrac{3}{2} > 0 \Rightarrow \dfrac{{2\sqrt x + 2 - 3\sqrt x }}{{2\sqrt x }} > 0 \Rightarrow 2 - \sqrt x > 0\) (vì \(x > 0)\)
Khi đó \(\sqrt x < 2\) hay \(x < 4\).
Kết hợp điều kiện, ta được \(0 < x < 4\) và \(x \ne 1\).
Vậy \(\dfrac{A}{B} > \dfrac{3}{2}\) khi \(0 < x < 4\) và \(x \ne 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link