Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(ab + bc + ca = 3abc\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 680686:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(ab + bc + ca = 3abc\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \sqrt {\dfrac{a}{{3{b^2}{c^2} + abc}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{3{a^2}{c^2} + abc}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{3{a^2}{b^2} + abc}}} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680686

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Ta có \(ab + bc + ca = 3abc \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 3\)

Đặt \(x = \dfrac{1}{a},y = \dfrac{1}{b},z = \dfrac{1}{c} \Rightarrow x + y + z = 3\).

Ta có: \(\dfrac{a}{{3{b^2}{c^2} + abc}} = \dfrac{{\dfrac{1}{x}}}{{\dfrac{3}{{{y^2}{z^2}}} + \dfrac{1}{{xyz}}}} = \dfrac{1}{x}:\dfrac{{3x + yz}}{{x{y^2}{z^2}}} = \dfrac{{{y^2}{z^2}}}{{3x + yz}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {\dfrac{a}{{3{b^2}{c^2} + abc}}} = \sqrt {\dfrac{{{y^2}{z^2}}}{{3x + yz}}} = yz\sqrt {\dfrac{1}{{3x + yz}}} = yz\sqrt {\dfrac{1}{{\left( {x + y + z} \right)x + yz}}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = yz\sqrt {\dfrac{1}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} \end{array}\)

Tương tự: \(\sqrt {\dfrac{b}{{3{a^2}{c^2} + abc}}} = xz\sqrt {\dfrac{1}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}}} ;\,\) \(\sqrt {\dfrac{c}{{3{a^2}{b^2} + abc}}} = xy\sqrt {\dfrac{1}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

\(\sqrt {\dfrac{1}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{x + y}}.\dfrac{1}{{x + z}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}} \right)\)

\( \Rightarrow yz\sqrt {\dfrac{1}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} \le \dfrac{{yz}}{2}\left( {\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(xy\sqrt {\dfrac{1}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}} \le \dfrac{{xy}}{2}\left( {\dfrac{1}{{z + x}} + \dfrac{1}{{z + y}}} \right)\)

\(xz\sqrt {\dfrac{1}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}}} \le \dfrac{{xz}}{2}\left( {\dfrac{1}{{y + x}} + \dfrac{1}{{y + z}}} \right)\)

Do đó \(T \le \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right) = \dfrac{3}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + y}} = \dfrac{1}{{x + z}}\\\dfrac{1}{{y + x}} = \dfrac{1}{{y + z}}\\\dfrac{1}{{z + x}} = \dfrac{1}{{z + y}}\\x + y + z = 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 1\) nên

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(T\) là \(\dfrac{3}{2}\)khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link