1) Cho tam giác \(ABC\) đều nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), \(H\) là trung điểm của

Câu hỏi số 680685:

Vận dụng cao

1) Cho tam giác \(ABC\) đều nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\). \(M\) là điểm bất kì thuộc đoạn \(BH\) (\(M\) khác \(B\)). Lấy điểm \(N\) thuộc đoạn \(CA\) sao cho \(CN = BM\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(MN\).

a) Chứng minh bốn điểm \(O,M,H,I\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh diện tích tam giác \(IAB\) không đổi. Xác định vị trí của điểm \(M\) để đoạn thẳng \(MN\) có độ dài nhỏ nhất. \(\)

2) Có một bình thủy tinh hình trụ cao \(30cm\) chứa nước, diện tích đáy bình bằng \(\dfrac{1}{6}\) diện tích xung quanh, mặt nước cách đáy bình là \(18cm\) (hình vẽ bên). Cần đổ thêm bao nhiêu lít nước nữa để nước vừa đầy bình (Bỏ qua bề dày của bình, cho \(\pi = 3,14\) và lấy kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680685

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Do \(\Delta ABC\) đều nên \(OH \bot BC\) hay \(OH \bot MH\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta BOM\) và \(\Delta CON\) có \(BM = CN\,\left( {gt} \right),OB = OC = R,\angle {OBM} = \angle {OCN} = {30^0}\) (do \(\Delta ABC\)đều) \(\Delta BOM = \Delta CON\,\left( {c.g.c} \right)\).

\( \Rightarrow OM = ON\) hay \(\Delta OMN\) cân tại O

Do I là trung điểm của \(MN\) suy ra \(OI \bot MN\) hay \(OI \bot MI\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(OMHI\) nội tiếp \( \Rightarrow O,M,H,I\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có \({180^0} = \angle {OMB} + \angle {OMC} = \angle {ONC} + \angle {OMC}\) \( \Rightarrow \) tứ giác \(OMCN\) nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180⁰) nên \(\angle {MON} = {180^0} - \angle {NCM} = {120^0} \Rightarrow \angle {OMN} = {30^0}\)

Ta có \(\angle {OHI} = \angle {OMN} = {30^0} \Rightarrow \angle {IHC} = {60^0} \Rightarrow \angle {IHC} = \angle {ABC} \Rightarrow HI//AB\)

Gọi \(K\) là trung điểm của AC thì \(H,I,K\) thẳng hàng.

Kẻ \(IP,CE,KQ\) lần lượt vuông góc với \(AB\)

Thì \({S_{IAB}} = \dfrac{1}{2}IP.AB = \dfrac{1}{2}KQ.AB = \dfrac{1}{4}CE.AB = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}A{B^2}\) không đổi.

Vậy diện tích \(\Delta IAB\) không đổi (đpcm)

Trong tam giác vuông \(OMI\) và \(OMH\) có:

\(IM = \dfrac{{2OM}}{{\sqrt 3 }} \ge \dfrac{{2OH}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow MN \ge \dfrac{{2\sqrt 3 R}}{3}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv H.\)

2) Gọi chiều cao và bán kính đáy của bình lần lượt là \(h,R\,\,\left( {cm} \right).\)

Thể tích của bình, thể tích nước có trong bình và thể tích nước cần đổ đầy bình lần lượt là \(V,{V_1},{V_2}\).

Ta có:

Thể tích của bình là \(V = \pi {R^2}h = \pi {.10^2}.30 = 3000\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích nước có trong bình là \({V_1} = \pi {R^2}.18 = \pi {.10^2}.18 = 1800\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích nước cần đổ thêm vào để đầy bình là:

\({V_2} = V - {V_1} = 3000\pi - 1800\pi = 1200\pi = 1200.3,14 = 3768\,\left( {c{m^3}} \right) \Rightarrow {V_2} \approx 3,8\,\left( l \right)\)

Vậy cần đổ thêm 3,8 lít nước thì bình đầy nước.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link