1.1. Rút gọn biểu thức \(Q = \left( {\dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} }} +

Câu hỏi số 681055:

Vận dụng

1.1. Rút gọn biểu thức \(Q = \left( {\dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} }} + \dfrac{{x - y}}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} - x + y}}} \right).\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\) với \(x > y > 0.\)

1.2. Cho đường thẳng d có phương trình: \(y = \left( {3m + 1} \right)x - 6m - 1\), \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.

1.3. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {3m - 1} \right)x + {m^2} - m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} + {x_2} + \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| + \left| {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| = 2008.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681055

Phương pháp giải

1.1. Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn.

1.2. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên đường thẳng \(d\). Suy ra \(OH \le OM\,\forall m\).

1.3. Áp dụng định lí vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

1.1. \(Q = \left( {\dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} }} + \dfrac{{\sqrt {{{(x - y)}^2}} }}{{\sqrt {(x + y)(x - y)} - \sqrt {{{(x - y)}^2}} }}} \right).\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\)

\( = \sqrt {x - y} .\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + y} - \sqrt {x - y} }}} \right).\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\)

\( = \sqrt {x - y} .\dfrac{{\sqrt {x + y} }}{y}.\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\)

\( = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{y}\)

1.2. Đường thẳng \(d\) luôn đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\) vì:

\(1 = \left( {3m + 1} \right).2 - 6m - 1\) hay \(1 = 6m + 2 - 6m - 1\) (luôn đúng)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên đường thẳng \(d\)

Suy ra \(OH \le OM\,\forall m\)

Đường thẳng \(OM\) có phương trình là \(y = \dfrac{1}{2}x\)

Do \(OM \bot d\) nên \(\dfrac{1}{2}\left( {3m + 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow 3m + 1 = - 2 \Leftrightarrow m = - 1\).

Vậy khi \(m = - 1\) thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.

1.3. Phương trình \({x^2} - 2\left( {3m - 1} \right)x + {m^2} - m - 4 = 0\)\(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - m - 4} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow 8{m^2} - 5m + 5 > 0\)

\( \Leftrightarrow 8{\left( {m - \dfrac{5}{{16}}} \right)^2} + \dfrac{{135}}{{32}} > 0;\forall m \in \mathbb{R}\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\)luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

Theo định lí Vi ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {3m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m - 4\end{array} \right.\)

Đặt \(A = {x_1} + {x_2} + \sqrt {{x_1}{x_2}} \); \(B = {x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} \)

Ta có \(A.B = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + \dfrac{{{x_2}}}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3x_2^2}}{4} > 0;\forall {x_1},{x_2}\)

Suy ra \(A\) và \(B\) luôn cùng dấu \( \Rightarrow \left| A \right| + \left| B \right| = \left| {A + B} \right|\)

Do đó \(\left| {{x_1} + {x_2} + \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| + \left| {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| = 2008\)

\( \Leftrightarrow \left| {{x_1} + {x_2} + \sqrt {{x_1}{x_2}} + {x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right| = 2008\)

\( \Leftrightarrow \left| {{x_1} + {x_2}} \right| = 1004\)

\( \Leftrightarrow 2\left| {3m - 1} \right| = 1004\)

\( \Leftrightarrow \left| {3m - 1} \right| = 502 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{503}}{3}\\m = - 167\end{array} \right.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link