Trên bảng cho 2023 số nguyên phân biệt, mỗi số đều có dạng \({a^2} + {b^2}\) trong đó \(a,\,{\rm{

Câu hỏi số 681113:

Vận dụng cao

Trên bảng cho 2023 số nguyên phân biệt, mỗi số đều có dạng \({a^2} + {b^2}\) trong đó \(a,\,{\rm{ }}b\) là các số nguyên. Mỗi lần ta thực hiện một phép biến đổi như sau: Xóa hai số tùy ý rồi viết thêm một số bằng tích của hai số vừa xóa. Hỏi sau một số lần biến đổi, trên bảng có số bằng \({26.3^{2023}}\) hay không? Giải thích tại sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681113

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Trước hết ta chú ý các bổ đề sau:
Bổ đề 1. Cho \(a,b\) nguyên thoả mãn \({a^2} + {b^2}:3\). Khi đó \({a^2} + {b^2}:9\).

Chứng minh. Từ \({a^2} + {b^2}:3\) và chú ý mọi số chính phương chia 3 dư 0,1 nên ta có \(a:3,b:3\) và suy ra \({a^2}:9;{b^2}:9\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2}:9\)

Bổ đề 2. Nếu hai số nguyên dương dược viết thành tổng chính phương của hai số nguyên thì tích của chúng cũng viết được thành dạng tổng của hai số chính phương.

Chứng minh. Xét các số \(A,B\) là các số nguyên có thể viết được thành tổng chính phương của hai số nguyên.
Khi đó tồn tại \(a,b,c,d\) nguyên thoả mãn \(A = {a^2} + {b^2},B = {c^2} + {d^2}\).
Ta có: \({A^2} + {B^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {(ac - bd)^2} + {(ad + bc)^2}\)

Chú ý thêm \(ac - bd\) và \(ad + bc\) nguyên nên ta hoàn tất chứng minh bổ đề.

Từ bổ đề 1 ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 3. Mọi số dạng \({a^2} + {b^2}\) với \(a,b\) nguyên, không cùng bằng 0 thì đều có phân tích tiêu chuẩn là \({3^{2k}}\).c với \(\left( {c,3} \right) = 1\) và \(c \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(k \in \mathbb{N}\).

Bên cạnh đó ta chú ý:
Mệnh đề 4 . Nếu trên bảng có số 0 và xoá đi số 0 thì số viét thêm vào vẫn là số 0 .

Bởi mệnh đề 4 nên ta có thể giả sử tất cả các số trên bảng khác 0 (nói cách khác là đều dương).
Từ bổ đề 2 ta thấy được : Ở mỗi bước biến đổi, mỗi số trên bảng đều là tổng của hai số chính phương. Do đó nên theo mệnh đề 3 , số mũ của 3 trong phân tích tiêu chuẩn của mỗi số trên bảng đều là số tự nhiên chẵn.
Mặt khác, số mũ của 3 trong phân tích tiêu chuẩn của \({26.3^{2023}}\) là 2023 lẻ.
Do vậy nên sau một số hữu hạn bước, không thể thu được số \({26.3^{2023}}\) được viết trên bảng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link