Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai đường cao \(BD,\,{\rm{

Câu hỏi số 681112:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai đường cao \(BD,\,{\rm{ }}CE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\). Tia phân giác của góc \(BAC\) cắt đường thẳng \(BD\) và đường tròn \((O)\) theo thứ tự tại \(M\) và \(I\) (\(I\) khác \(A\)). Đường thẳng \(BD\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(K\) (\(K\) khác \(B\)), hai đường thẳng \(AC\) và \(IK\) cắt nhau tại \(Q\), hai đường thẳng \(QH\) và \(AB\) cắt nhau tại \(P\). Chứng minh:

a) Tứ giác \(AMQK\) nội tiếp;

b) Tam giác \(APQ\) cân tại A;

c) \(\dfrac{1}{{BC}} + \dfrac{1}{{DE}} = \dfrac{1}{{MQ}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681112

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle {MKQ} = \angle {IKB} = \angle {IAB} = \angle {IAC} = \angle {MAQ}\)

Do đó nên tứ giác \(AMQK\) nội tiếp.
b) Theo tính chất quen thuộc \(AC\) là đường trung trực của \(HK\).
\( \Rightarrow \Delta HQK\) cân tại \(Q\) và \(QD\) là phân giác \(\angle {HQK}\)

\( \Rightarrow \angle {AQK} = \angle {AQH}\)

Mà \(\angle {AQK} = \angle {AMK}\), do \(AMQK\) nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle {AQH} = \angle {AMK}\left( 1 \right)\)

Ta có \(\Delta QHK\) cân tại \(Q\) nên \(\angle {QHK} = \angle {QKH} = \angle {BKI} = \angle {BAI}\)

Suy ra \(\angle {QHK} = \angle {PAM}\) và do đó nên \(APHM\) nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle {AMK} = \angle {APH}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\angle {APH} = \angle {AQH}\)

Suy ra tam giác \(APQ\) cân tại \(A\).

c) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\dfrac{{MQ}}{{BC}} + \dfrac{{MQ}}{{DE}} = 1\)

Do \(AMQK\) nội tiếp nên \(\angle {AQM} = \angle {AKM} = \angle {ACB} \Rightarrow \angle {AQM} = \angle {ACB}\)

\( \Rightarrow MQ\parallel BC\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{BC}} = \dfrac{{DM}}{{DB}} = \dfrac{{DQ}}{{DC}}\)

Theo phần b), tam giác \(APQ\) cân tại \(A\) và do \(AI\) là phân giác \(\angle {PAQ}\) nên \(AI\) là trung trực \(PQ\).

\( \Rightarrow MQ = MP\)

Ta có: \(\angle {APM} = \angle {AQM} = \)\(\angle {AKM} = \angle {AKB} = \angle {ACB} = \angle {AED}\)

\(\; \Rightarrow \angle {APM} = \angle {AED}\)

\(\; \Rightarrow PM\parallel DE\)

Áp dụng định lý Thales cho \(PM\parallel DE\) ta có: \(\dfrac{{MQ}}{{DE}} = \dfrac{{MP}}{{DE}} = \dfrac{{BM}}{{DB}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{BC}} + \dfrac{{MQ}}{{DE}} = \dfrac{{DM}}{{BD}} + \dfrac{{BM}}{{BD}} = 1\)

Vậy \(\dfrac{1}{{BC}} + \dfrac{1}{{DE}} = \dfrac{1}{{MQ}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link