Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương? a) \(M = {19^k} +

Câu hỏi số 682028:

Vận dụng

Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương?

a) $M = {19^k} + {5^k} + {1995^k} + {1996^k}$ với $k$ là số nguyên dương chẵn?

b) $N = {2003^{2004}} + 2024$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:682028

Phương pháp giải

- Nếu chữ số tận cùng của $a$ là các chữ số 0, 1, 5, 6 thì chữ số tận cùng của $x$ là 0, 1, 5, 6.

- Nếu chữ số tận cùng của $a$ là các chữ số 3, 7, 9 thì

Vì ${a^m} = {a^{4n + r}} = {a^{4n}} \cdot {a^r}$

Nếu $r$ là 0, 1, 2, 3 thì chữ số tận cùng của $x$ là chữ số tận cùng của ${a^r}$

- Nếu chữ số tận cùng của $a$ là các chữ số 2, 4, 8 thì

Vì ${a^m} = {a^{4n + r}} = {a^{4n}} \cdot {a^r}$

Nếu $r$ là 0, 1, 2, 3 thì chữ số tận cùng của $x$ là chữ số tận cùng của $6{a^r}$

Giải chi tiết

a) Vì $k$ chẵn nên $k = 2m\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right)$

Khi đó

$\begin{array}{l}M = {19^{2m}} + {5^{2m}} + {1995^{2m}} + {1996^{2m}}\\ = {\left( {{{19}^2}} \right)^m} + \overline { \ldots 5} + \overline { \ldots 5} + \overline { \ldots 6} \\ = \overline { \ldots 1} + \overline { \ldots 5} + \overline { \ldots 5} + \overline { \ldots 6} \\ = \overline { \ldots 7} \end{array}$

Rõ ràng số chính phương không thể tận cùng là $2;\,\,3;\,\,7;\,\,8$

Vậy $M$ không là số chính phương.

b) Ta xét thành phần $2003^{2004}$:

Theo phép đồng dư, $2003 \equiv 3 \pmod{100}$, nên $2003^{2004} \equiv 3^{2004} \pmod{100}$.

Ta có $3^4 = 81$. Viết lại $3^{2004} = (3^4)^{501} = 81^{501}$.

Tiếp tục phân tích: $81^{501} = (80 + 1)^{501}$. Khai triển biểu thức này, tất cả các số hạng đầu đều chứa thừa số $80^2, 80^3,...$ (chia hết cho 100), chỉ còn lại 2 số hạng cuối là không hiển nhiên chia hết cho 100:

$81^{501} \equiv 501 \cdot 80 \cdot 1^{500} + 1^{501} \pmod{100}$

$81^{501} \equiv 40080 + 1 \equiv 81 \pmod{100}$

Vậy $2003^{2004}$ có hai chữ số tận cùng là 81.

Xét tổng $N$:

Hai chữ số tận cùng của $2003^{2004}$ là 81.

Hai chữ số tận cùng của 2024 là 24.

Cộng lại ta được: $81 + 24 = 105$. Suy ra $N$ có hai chữ số tận cùng là 05.

Kết luận:

Một số có hai chữ số tận cùng là 05 nghĩa là số đó chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25.

Theo tính chất của số chính phương, nếu nó chia hết cho số nguyên tố $p$ (ở đây $p=5$) thì nó bắt buộc phải chia hết cho $p^2$ (tức là 25).

Vì $N$ chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25, nên $N$ không thể là số chính phương

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link