Cho số phức z thỏa mãn \(|z + 1 + 2i| = 2\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị

Câu hỏi số 687361:

Vận dụng

Cho số phức z thỏa mãn \(|z + 1 + 2i| = 2\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(|{z^2} + \left( {2 + 2i} \right)z - 1 + 2i|\). Giá trị của biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) bằng

A. \(101\).

B. \(104\).

C. \(102\).

D. \(103\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:687361

Giải chi tiết

Đặt \(A = |{z^2} + \left( {2 + 2i} \right)z - 1 + 2i| = |\left( {z + i} \right)\left( {z + 2 + i} \right)|\) .

Đặt \(\omega = z + i\) , \(\omega = a + bi\), điểm \(M(a;b)\) biểu diễn \(\omega \).

Theo đề bài \(|z + 1 + 2i| = 2 \Leftrightarrow |\omega + 1 + i| = 2\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2 - 2{\rm{a}} - 2b\)

Ta có \(A = |\omega |.|\omega + 2| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}} \)

\( = \sqrt {\left( {2 - 2{\rm{a}} - 2b} \right)\left( {6 + 2{\rm{a}} - 2b} \right)} \)

\(\begin{array}{l}A = 2.\sqrt {\left( {1 - ({\rm{a + }}b)} \right)\left( {3 + \left( {{\rm{a}} - b} \right)} \right)} \\ = 2.\sqrt {3 - 2{\rm{a}} - 4b - {a^2} + {b^2}} \\ = 2.\sqrt {{{\left( {b - 2} \right)}^2} - {{\left( {a + 1} \right)}^2}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = 2.\sqrt {{{\left( {b - 2} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} - 4} \\ = 2.\sqrt {2{b^2} - 2b + 1} = 2.\sqrt {f\left( b \right)} \end{array}\)

Với \(f\left( b \right) = 2{b^2} - 2b + 1\), mà \( - 3 \le b \le 1\) do \({\left( {b + 1} \right)^2} \le 4\)

Ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( b \right) = 4b - 2,\,f'\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{2} \in \left[ { - 3;1} \right]\\f\left( { - 3} \right) = 25,\,f\left( 1 \right) = 1,\,f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy \(M = 2\sqrt {25} = 10;\,m = 2.\sqrt {\dfrac{1}{2}} = \sqrt 2 \) do đó \(T = {M^2} + {m^2} = 102\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.