Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(A\left( {0;1;0} \right)\), \(B\left( {2;5;4}

Câu hỏi số 687362:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(A\left( {0;1;0} \right)\),\(B\left( {2;5;4} \right)\), \(C\left( {\dfrac{{16}}{3}; - \dfrac{{13}}{3};\dfrac{8}{3}} \right)\)và điểm \(D\left( {3;0; - 2} \right)\), \(S\)là điểm thay đổi sao cho hình chiếu vuông góc của \(S\)lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)thuộc miền trong tam giác \(ABC\)và các mặt bên đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. Gọi \(S\left( {a;b;c} \right)\)là điểm sao cho \(SD\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính \(a - b + c\).

A. \(6\).

B. \( - 2\).

C. \(2\).

D. \(5\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:687362

Giải chi tiết

Vì \(S\) là điểm thay đổi sao cho hình chiếu vuông góc của \(S\)lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)thuộc miền trong tam giác \(ABC\)và các mặt bên đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của \(S\)lên \(\left( {ABC} \right)\)là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Ta có

\(AB = \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = 6\),

\(AC = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{16}}{3} - 0} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{{13}}{3} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{8}{3} - 0} \right)}^2}} = 8\),

\(BC = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{16}}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{{13}}{3} - 5} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{8}{3} - 4} \right)}^2}} = 10\),

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;4;4} \right)\) , \(\overrightarrow {AC} = \left( {\dfrac{{16}}{3};\, - \dfrac{{16}}{3};\,\dfrac{8}{3}} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {32;\,16;\, - 32} \right) = 16\left( {2;\,1; - \,2} \right)\).

Gọi \(I\left( {x;\,y;\,z} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), ta có \(a.\overrightarrow {IA} + b.\overrightarrow {IB} + c.\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \), với \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\). Khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{a{x_A} + b{x_B} + c{x_C}}}{{a + b + c}}\\{y_I} = \dfrac{{a{y_A} + b{y_B} + c{y_C}}}{{a + b + c}}\\{z_I} = \dfrac{{a{z_A} + b{z_B} + c{z_C}}}{{a + b + c}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{10.0 + 8.2 + 6.\dfrac{{16}}{3}}}{{10 + 8 + 6}} = 2\\{y_I} = \dfrac{{10.1 + 8.5 + 6.\left( { - \dfrac{{13}}{3}} \right)}}{{10 + 8 + 6}} = 1\\{z_I} = \dfrac{{10.0 + 8.4 + 6.\dfrac{8}{3}}}{{10 + 8 + 6}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;\,1;\,2} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Suy ra \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)\) nên \(\Delta \) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\).

Ta thấy \(SD\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(S\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) lên \(\Delta \).

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(D\) và vuông góc \(\Delta \).

Suy ra \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(2x + y - 2z - 10 = 0\).

Do đó \(S = \Delta \cap \left( \alpha \right)\). Cho nên \(S\left( {4;2;0} \right)\).

Vậy \(a = 4\), \(b = 2\), \(c = 0\) hay \(a - b + c = 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.