Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn \(a,b,c \ge 1\) và \({a^2} + 4{b^2} + {c^2} + 2ab + 12 = 3\left( {a + 5b +

Câu hỏi số 688577:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn \(a,b,c \ge 1\) và \({a^2} + 4{b^2} + {c^2} + 2ab + 12 = 3\left( {a + 5b + c} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \dfrac{{{a^3}}}{{a + {{(a + b)}^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{a + {c^2}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688577

Phương pháp giải

Biến đổi từ giả thiết để từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của T.

Giải chi tiết

Bằng các phép biến đổi giả thiết, ta có:

\(3\left( {a + b + c} \right)\)\( = {a^2} + 4{b^2} + {c^2} + 2ab + 12 - 12b\)

\( = {(a + b)^2} + {c^2} + 3{(b - 2)^2} \ge {(a + b)^2} + {c^2}.\)

Bằng biến đổi bất đẳng thức kết hợp cộng mẫu, ta được

\(3\left( {a + b + c} \right) \ge {(a + b)^2} + {c^2} \ge \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{2}.\)

Do đó \(a + b + c \le 6\) suy ra \({(a + b)^2} + {c^2} \le 18\). Khi đó, bằng các phép biến đổi ta có

\(T = \dfrac{{{a^3}}}{{a + {{(a + b)}^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{a + {c^2}}}\)\( \ge \dfrac{{{a^2}}}{{a + {{(a + b)}^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{a + {c^2}}}\)

\( \ge \dfrac{{4{a^2}}}{{2a + {{(a + b)}^2} + {c^2}}}\)

\( \ge \dfrac{{4{a^2}}}{{2a + 18}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{a + 9}} \ge \dfrac{{2{a^2}}}{{10a}} = \dfrac{a}{5} \ge \dfrac{1}{5}\)

Từ đây ta được \({\rm{Min}}T = \dfrac{1}{5}\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {a,b,c} \right) = \left( {1,2,3} \right)\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T = \dfrac{1}{5}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link