a) Tìm \(x \in \mathbb{R}\) sao cho \(x + \sqrt {2024} \) và \(\dfrac{1}{x} - \sqrt {2024} \) đều là các số

Câu hỏi số 688576:

Vận dụng cao

a) Tìm \(x \in \mathbb{R}\) sao cho \(x + \sqrt {2024} \) và \(\dfrac{1}{x} - \sqrt {2024} \) đều là các số nguyên.
b) Tìm số nguyên dương \(a\) nhỏ nhất sao cho \(2a\) là số lập phương và \(5a\) là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688576

Giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có thể đặt như sau \(x + \sqrt {2024} = a,\dfrac{1}{x} - \sqrt {2024} = b\) thì \(a,b \in \mathbb{Z}\).

Bằng các phép biến đổi ta được \(\left( {a - \sqrt {2024} } \right)\left( {b + \sqrt {2024} } \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {2024} \left( {a - b} \right) = 2025 - ab.\)

Vì \(\sqrt {2024} \) vô tỉ và \(a - b,2025 - ab\) nguyên nên \(a = b\) và \(2025 = ab\) suy ra \(a = b = \pm 45\).

Khi đó bằng phép thế ta được \(x + \sqrt {2024} = a = \pm 45 \Leftrightarrow x \in \left\{ {45 - \sqrt {2024} , - 45 - \sqrt {2024} } \right\}.\)

Vậy tất cả giá trị \(x\) thỏa mãn là \(x \in \left\{ {45 - \sqrt {2024} , - 45 - \sqrt {2024} } \right\}\).
b) Theo giả thiết \(2a = {b^3}\left( 1 \right)\) và \(5a = {c^2}\left( 2 \right)\) với \(b,c\) là các số nguyên dương.

Từ (1) suy ra \({b^3}\) chia hết cho 2 , mà 2 là số nguyên tố nên \(b\) chia hết cho 2.

Đặt \(b = 2d\), thay vào (1) được \(2a = 8{d^3}\), hay \(a = 4{d^3}\) (3).
Từ (2) suy ra \({c^2}\) chia hết cho 5 , mà 5 là số nguyên tố nên \(c\) chia hết cho 5.

Đặt \(c = 5e\), thay vào (2) được \(5a = 25{e^2}\), hay \(a = 5{e^2}\) (4).
Từ (3) và (4) có \(a = 4{d^3} = 5{e^2}\left( 5 \right)\) với \(d\),e là các số nguyên dương.

Do 4 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (5) thì \({d^3}\) chia hết cho 5 , suy ra \(d\) chia hết cho 5.
Đặt \(d = 5k\), thay vào (5) được \(a = 5{e^2} = 500{k^3}\) với \(k\) là số nguyên dương.
Từ đó \({e^2} = 100{k^3} = {10^2}{k^3}\). Điều này xảy ra với số \(k\) nhỏ nhất là \(k = 1,e = 10\) và \(a = 500\).

Lúc đó \(2a = 1000 = {10^3}\) và \(5a = 2500 = {50^2}\) thỏa mãn bài toán.

Vậy số nguyên dương \(a\) nhỏ nhất thỏa mãn là \(a = 500\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link