Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A(AB < AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Trên đường tròn
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A(AB < AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(D\) khác phía \(A\) so với đường thảng \(BC(BD > AC)\). Qua \(B\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(CD\). Đường thẳng \(d\) cắt đường thẳng \(AC\) tại \(E\), cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(F\) (\(F\) khác \(B\)).
a) Gọi \(J\) là trung điểm của \(EC\). Chứng minh rằng 4 điểm \(A,F,O,J\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đường thẳng \(OE\) cắt đường thẳng \(AD\) tại \(I\). Chứng minh rằng \(\angle {IBA} = \angle {BDA}\).
c) Trên tia \(BD\) lấy điểm \(M\) sao cho \(BM = BA\). Đường thẳng \(AM\) cắt đường thẳng \(DC\) tại \(N\), đường thẳng \(BN\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(K\) (\(K\) khác \(B\)). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\). Đường thẳng \(BD\) cắt các đường thẳng \(NH,CK\) lần lượt tại \(P,Q\).
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{PM}} = \dfrac{1}{{MQ}} + \dfrac{1}{{BM}}\).
Quảng cáo
a) Vì tứ giác \(AFBC\) nội tiếp, ta có đẳng thức sau
\({180^ \circ } - \angle {FAJ} = \angle {EAF} = \angle {FBC} = \dfrac{1}{2}\angle {FOC}.\)
Vì \(JO\) là đường trung bình tam giác \(CBE\) nên \(JO\parallel BF\) mà \(CF \bot BF\) suy ra \(JO \bot BF\).
Vì \(O\) thuộc trung trực \(CF\) nên \(OJ\) là trung trực \(CF\) nên \(\angle {FOJ} = \dfrac{1}{2}\angle {FOC} = {180^ \circ } - \angle {FAJ}.\)
Từ đây ta có tứ giác \(AJOF\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(T\) là giao điểm của \(OE\) và \(AF\).
Trước hết, ta chỉ ra \(\dfrac{{ID}}{{IA}} = \dfrac{{B{D^2}}}{{B{A^2}}}\).
Thật vậy, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(AFD\), cát tuyến \(ITO\) ta có
\(\dfrac{{ID}}{{IA}} \cdot \dfrac{{TA}}{{TF}} \cdot \dfrac{{OF}}{{OD}} = 1\)
Từ đây kết hợp \(OF = OD,\,\,\Delta AEB\)~ \(\Delta FEC\left( {g \cdot g} \right)\) và \(BD = CF\), ta có
\(\dfrac{{ID}}{{IA}} = \dfrac{{TF}}{{TA}} = \dfrac{{EF \cdot {\rm{sin}}FET}}{{EA \cdot {\rm{sin}}AET}} = \dfrac{{EF}}{{EA}} \cdot \dfrac{{{\rm{sin}}BEO}}{{{\rm{sin}}CEO}} = \dfrac{{EF}}{{EA}} \cdot \dfrac{{CE}}{{BE}} = {\left( {\dfrac{{CF}}{{BA}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{BD}}{{BA}}} \right)^2}.\)
Bằng các phép biến đổi góc, ta được
\(\angle {OFA} = \angle {OAF} = 90^\circ - \angle {ADF} = 90^\circ - \angle {ACF} = \angle {AEF}.\)
Do đó \(OF\) và \(OA\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {AEF} \right)\).
Gọi \(I'\) là giao điểm của tiếp tuyến tại \(B\) của \(\left( O \right)\) với \(AD\), ta có
\(\Delta I'BA\)~ \(\Delta I'DB\left( {g \cdot g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{I'A}}{{I'B}} = \dfrac{{I'B}}{{I'D}} = \dfrac{{BA}}{{BD}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{I'D}}{{I'A}} = \dfrac{{I'D}}{{I'B}} \cdot \dfrac{{I'B}}{{I'A}} = \dfrac{{B{D^2}}}{{B{A^2}}} = \dfrac{{ID}}{{IA}}\) \( \Rightarrow I \equiv I'\)
Từ đây ta được \(IB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) suy ra \(\angle {IBA} = \angle {BDA}\).
c)
Ta có \(\angle {DNM} + \angle {DMN} = \angle {BAM} + \angle {CAN} = 90^\circ ,\angle {BAM} = \angle {BMA}\)
Do đó \(\angle {CAN} = \angle {CNA}\) hay tam giác \(CAN\) cân tại \(C\) suy ra \(CA = CN\).
Theo hệ thức lượng ta có \(C{A^2} = CH \cdot CB\) nên \(C{N^2} = CH \cdot CB\) suy ra \(\dfrac{{CN}}{{CH}} = \dfrac{{CB}}{{CN}}\).
Từ đây ta được \(\Delta CNH\)~ \(\Delta CBN\) (c.g.c) dẫn đến \(\angle {CHN} = \angle {CNB} = \angle {CQD}\).
Do đó tứ giác \(CQPH\) nội tiếp, ta có các biến đổi sau:
\(BP \cdot BQ = BH \cdot BC = B{A^2}\) \( \Leftrightarrow B{M^2} = BP \cdot BQ\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{BM}}{{BP}} = \dfrac{{BQ}}{{BM}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{PM}}{{BP}} = \dfrac{{MQ}}{{BQ}}\)
\( \Leftrightarrow PM \cdot BQ = MQ \cdot BM\)
\( \Leftrightarrow \left( {MB + MQ} \right)MP = MQ \cdot MB\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{MB + MQ}}{{MB \cdot MQ}} = \dfrac{1}{{MP}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{MP}} = \dfrac{1}{{MQ}} + \dfrac{1}{{MB}}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
