a) Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}}

Câu hỏi số 688580:

Vận dụng

a) Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x }}\) (với \(x > 0)\).

Rút gọn biểu thức \(A\) và chứng minh \(A \le 2\).
b) Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {a + 1} \right)x + {a^2} - 2a + 1 = 0\) (\(x\) là ẩn, \(a\) là tham số). Chứng minh nếu \(a\) là số chính phương thì phương trình đã cho có hai nghiệm cũng là những số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688580

Phương pháp giải

a) Phân tích hằng đẳng thức và rút gọn, từ đó chứng minh \(A \le 2\).

b) Tính \(\Delta '\) và tìm ra hai nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

a) \(A = \left( {\dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{x + 2 + \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}}\)

\(\dfrac{{2\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} \le 2 \Leftrightarrow 2\sqrt x \le 2x - 2\sqrt x + 2 \Leftrightarrow {(\sqrt x - 1)^2} \ge 0\)

Vậy \(A \le 2\)

b) Có \({\rm{\Delta '}} = {(a + 1)^2} - \left( {{a^2} - 2a + 1} \right) = 4a \ge 0\)
Khi đó \({x_1} = \left( {a + 1} \right) - \sqrt {{\rm{\Delta '}}} = \left( {a + 1} \right) - 2\sqrt a = {(\sqrt a - 1)^2}\)

\({x_2} = \left( {a + 1} \right) + \sqrt {{\rm{\Delta '}}} = \left( {a + 1} \right) + 2\sqrt a = {(\sqrt a + 1)^2}{\rm{.\;}}\)

Do \(a\) là số chính phương nên \(\sqrt a \) là số nguyên nên \({x_1};{x_2}\) là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link