Cho một đa giác lồi có diện tích bằng \(2024\;c{m^2}\). Chứng minh rằng bao giờ cũng vẽ được
Cho một đa giác lồi có diện tích bằng \(2024\;c{m^2}\). Chứng minh rằng bao giờ cũng vẽ được trong đa giác đó một tam giác có diện tích không nhỏ hơn \(759\;c{m^2}\).
Quảng cáo
Bài toán ta cần cần giải quyết tương đương bài toán tổng quát sau.
Cho một đa giác lồi có diện tích bằng \(S\). Chứng minh rằng bao giờ cũng vẽ được trong đa giác đó một tam giác có diện tích không nhỏ hơn \(\dfrac{3}{8}S\).
Gọi \(a\) là đường thẳng chứa cạnh \(AB\) của đa giác. Gọi \(C\) là đỉnh của đa giác cách xa \(AB\) nhất. Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(b\)//\(a\).
Kẻ đường thẳng \(d\) song song cách đều \(a\) và \(b\), kẻ đường thẳng \({d_1}\) song song cách đều \(a\) và \(d\), kẻ đường thẳng \({d_2}\) song song cách đều \(b\) và \(d\). Gọi \(h\) là khoảng cách giữa \(a\) và \(b\)
Gọi giao điểm của \({d_1}\) với biên của đa giác là \(M\) và \(N\). Kéo dài các cạnh của đa giác chứa \(M\) và \(N\) cho cắt \(a\) và \(d\), ta được một hình thang có diện tích bằng \(MN \cdot \dfrac{h}{2}\).
Gọi giao điểm của \({d_2}\) với biên của đa giác là \(D\) và \(E\). Kéo dài các cạnh của đa giác chứa \(D\) và \(E\) cho cắt \(b\) và \(d\), ta được một hình thang cũng có thể là tam giác) có diện tích bằng \(DE \cdot \dfrac{h}{2}\). Hai hình thang nói trên phủ toàn bộ đa giác nên tổng các diện tích của hai hình thang lớn hơn hoặc bằng \(S\), do đó: \(\left( {MN + DE} \right) \cdot \dfrac{h}{2} \ge S\).
Ta sẽ chứng minh rằng một trong hai tam giác \(ADE\) và \(CMN\) là tam giác phải tìm.
Xét tổng diện tích hai tam giác đó:
\(\begin{array}{*{20}{r}}{{S_{ADE}} + {S_{CMN}}}&{\; = \dfrac{1}{2}DE \cdot \dfrac{{3h}}{4} + \dfrac{1}{2}MN \cdot \dfrac{{3h}}{4} = \dfrac{{3h}}{8}\left( {DE + MN} \right)}\\{}&{\; = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{h}{2}\left( {DE + MN} \right) \ge \dfrac{3}{4}S.}\end{array}\)
Tồn tại một trong hai tam giảc \(ADE,CMN\) có diện tích lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{3}{8}S\) đó là tam giác cần tìm.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
