a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left(

Câu hỏi số 689724:

Vận dụng

a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \dfrac{1}{2}x + m.\)Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại A.

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3} + 2{y^2} + 4y = 0\\{x^2} + 1 = xy\end{array} \right..\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:689724

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm tọa độ điểm A.

b) Chia cả hai vế của phương trình (2) cho x rồi thế vào phương trình (1).

Giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

\(2{x^2} = \dfrac{1}{2}x + m \Leftrightarrow 4{x^2} - x - 2m = 0\) (1).

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B \( \Leftrightarrow \) (1) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta = 1 + 32m > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{{32}}\).

Vì tam giác \(OAB\) vuông tại A nên \(OA \bot AB\), hay \(OA \bot (d)\).

Mặt khác, đường thẳng OA đi qua O nên OA có phương trình là \(y = - 2x\).

Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (P): \(2{x^2} = - 2x\).

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;{x_2} = - 1\), suy ra \(A( - 1;2)\).

Vì (d) đi qua A nên \(2 = \dfrac{1}{2}.( - 1) + m\), suy ra \(m = \dfrac{5}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \dfrac{5}{2}\) là giá trị cần tìm.

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3} + 2{y^2} + 4y = 0\,\,\,\,(1)\\{x^2} + 1 = xy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Dễ thấy \(x = 0\) không thỏa mãn (2) nên \((2) \Leftrightarrow y = x + \dfrac{1}{x}\). Thay vào (1), ta được

\(\sqrt { - x - \dfrac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} + 4\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt { - x - \dfrac{2}{x} - 3} + 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{x} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt { - x - \dfrac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 2{\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - x - \dfrac{2}{x} - 3 = x + 1 = \dfrac{1}{x} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 1.\end{array}\)

Với \(x = - 1\), ta suy ra \(y = - 2\).

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \((x;y) = ( - 1; - 2)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link