Cho tam giác đều \(ABC,\) cạnh \(a,\) đường cao \(AH.\) \(M\) là một điểm thay đổi trên cạnh

Câu hỏi số 690321:

Vận dụng cao

Cho tam giác đều \(ABC,\) cạnh \(a,\) đường cao \(AH.\) \(M\) là một điểm thay đổi trên cạnh \(BC,\) qua \(M\) kẻ \(MP\) vuông góc với \(AB,\) \(MQ\) vuông góc với \(AC.\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AM.\)

a) Chứng minh năm điểm \(A,P,M,H,Q\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Tứ giác \(OPHQ\) là hình gì? Vì sao?

c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) để độ dài \(PQ\) nhỏ nhất, tìm độ dài đó theo \(a.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690321

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle {APM} = 90^\circ \); \(\angle {AHM} = 90^\circ \); \(\angle {AQM} = 90^\circ \)

Suy ra \(\angle {APM} = \angle {AHM} = \angle {AQM} = 90^\circ \).

Vậy năm điểm \(A,P,M,H,Q\) cùng thuộc một đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AM\).

b) Theo chứng minh ý a, \(\Delta OPH\) cân tại \(O\).
Lại có \(\angle {POH} = 2\angle {BAH} = \angle {BAC} = 60^\circ \)
Suy ra \(\Delta OPH\) đều nên \(OP = PH = HO\).
Tương tự \(OQ = QH = HO\).
Suy ra \(OP = OQ = QH = HP\).

Vậy tứ giác \(OPHQ\) là hình thoi.

c) Theo chứng minh ý b) \(\angle {POH} = 60^\circ \).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(PQ\) và \(OH\).

Suy ra \(OI \bot PQ\) và \(PQ = 2PI\).
Trong \(\Delta IOP\) ta có \(PI = PO \cdot {\rm{sin}}\angle {IOP} = \dfrac{1}{2}AM \cdot {\rm{sin}}60^\circ \)
\( \Rightarrow PQ = AM \cdot {\rm{sin}}60^\circ \).
\(PQ\) nhỏ nhất khi \(AM\) nhỏ nhất, khi đó \(M\) trùng \(H\).
Vậy \(PQ = AH \cdot {\rm{sin}}60^\circ = AH \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link