a) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x +

Câu hỏi số 690371:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m - 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 6 = \sqrt {{x_2}} \).
b) Cho \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \) với \(x \ne 0,x \ne - 1\). Tính \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \cdots + f\left( {2023} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690371

Phương pháp giải

a) Xét \(\Delta '\) và tìm ra 2 nghiệm của phương trình, từ đó chia các trường hợp.

b) Ta có \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} = 1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}\). Từ đó bình phương hai vế.

Giải chi tiết

a) Xét phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m - 8 = 0\).
Ta có \(:{\rm{\Delta '}} = {[ - \left( {m - 1} \right)]^2} - \left( {{m^2} - 2m - 8} \right) = 9 > 0,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Ta tìm được hai nghiệm của phương trình là \(x = m - 4\) và \(x = m + 2\).
Trường hợp 1: \({x_1} = m - 4,{x_2} = m + 2\), bài toán trở thành:

\(m - 4 + 6 = \sqrt {m + 2} \Leftrightarrow m + 2 = \sqrt {m + 2} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ge 0\\{(m + 2)^2} = m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 2\\{m^2} + 3m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 2\\\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.\)

Trường hợp 2: \({x_1} = m + 2,{x_2} = m - 4\), bài toán trở thành:

\(m + 2 + 6 = \sqrt {m - 4} \Leftrightarrow m + 8 = \sqrt {m - 4} \)

\(\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 8 \ge 0}\\{m - 4 \ge 0}\\{{{(m + 8)}^2} = m - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge - 8}\\{m \ge 4}\\{{m^2} + 15m + 68 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge - 8}\\{m \ge 4}\\{m \in \emptyset }\end{array}} \right.} \right.} \right.{\rm{\;}}\) (vô nghiệm)

Vậy \(m = - 1,m = - 2\) thỏa mãn là các giá trị phải tìm.

b) Ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} = 1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}\) với \(x > 0\).
Thật vậy, khi \(x > 0\), hai vế của đẳng thức đều dương nên bình phương hai vế của đẳng thức trên, ta được:

\( \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} + \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} + \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{{x + 1}} - 2\left[ {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]\) (luôn đúng)
Áp dụng ta được:

\(f\left( 1 \right) = 1 + \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2};f\left( 2 \right) = 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3};f\left( 3 \right) = 1 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}; \ldots ;f\left( {2023} \right) = 1 + \dfrac{1}{{2023}} - \dfrac{1}{{2024}}{\rm{;\;}}\)

Vậy \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( {2023} \right) = 2024 - \dfrac{1}{{2024}} = \dfrac{{{{2024}^2} - 1}}{{2024}}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link