a) Cho các số nguyên \(a,b,c,d\) thỏa mãn điều kiện \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0\). Chứng minh

Câu hỏi số 690372:

Vận dụng

a) Cho các số nguyên \(a,b,c,d\) thỏa mãn điều kiện \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0\). Chứng minh rằng \({(a + b + c + d)^2}\) chia hết cho 9 .
b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức \(P\left( x \right)\) có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện \(P\left( {{x^2} - 2} \right)\) chia hết cho \(P\left( x \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690372

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(a + b + c + d\) chia hết cho 3, từ đó \({(a + b + c + d)^2}\) chia hết cho 9.

b) \(P\left( x \right) = {(x + 1)^{2024}}\) từ đó \(P\left( {{x^2} - 2} \right) = {\left( {{x^2} - 2 + 1} \right)^{2024}} = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{2024}}\).

Giải chi tiết

a) Từ giả thiết \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0 \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} - 9{c^3} + 27{d^3} = 0\) \( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} = 9{c^3} - 27{d^3}\).
Vì \(9{c^3} - 27{d^3}\) chia hết cho 3 nên \({a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}\) chia hết cho 3 .
Mà \(\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}} \right) - \left( {a + b + c + d} \right) = \left( {{a^3} - a} \right) + \left( {{b^3} - b} \right) + \left( {{c^3} - c} \right) + \left( {{d^3} - d} \right)\)
\( = \left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 1} \right)b\left( {b + 1} \right) + \left( {c - 1} \right)c\left( {c + 1} \right) + \left( {d - 1} \right)d\left( {d + 1} \right)\) chia hết cho 3.
Suy ra \(a + b + c + d\) chia hết cho 3 .
Mà 3 là số nguyên tố, do đó \({(a + b + c + d)^2}\) chia hết cho 9.

b) Xét đa thức \(P\left( x \right) = {(x + 1)^{2024}}\).
Khi đó, ta có \(:P\left( {{x^2} - 2} \right) = {\left( {{x^2} - 2 + 1} \right)^{2024}} = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{2024}}\).

\(P\left( {{x^2} - 2} \right) = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{2024}} = {(x - 1)^{2024}}{(x + 1)^{2024}}{\rm{\;}}\) chia hết cho \(P\left( x \right) = {(x + 1)^{2024}}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link