a) Cho các số nguyên \(a,b,c,d\) thỏa mãn điều kiện \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0\). Chứng minh

Câu hỏi số 690372:

Vận dụng

a) Cho các số nguyên \(a,b,c,d\) thỏa mãn điều kiện \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0\). Chứng minh rằng \({(a + b + c + d)^2}\) chia hết cho 9 .
b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức \(P\left( x \right)\) có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện \(P\left( {{x^2} - 2} \right)\) chia hết cho \(P\left( x \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690372

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(a + b + c + d\) chia hết cho 3, từ đó \({(a + b + c + d)^2}\) chia hết cho 9.

b) \(P\left( x \right) = {(x + 1)^{2024}}\) từ đó \(P\left( {{x^2} - 2} \right) = {\left( {{x^2} - 2 + 1} \right)^{2024}} = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{2024}}\).

Giải chi tiết

a) Từ giả thiết \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0 \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} - 9{c^3} + 27{d^3} = 0\) \( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} = 9{c^3} - 27{d^3}\).
Vì \(9{c^3} - 27{d^3}\) chia hết cho 3 nên \({a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}\) chia hết cho 3 .
Mà \(\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}} \right) - \left( {a + b + c + d} \right) = \left( {{a^3} - a} \right) + \left( {{b^3} - b} \right) + \left( {{c^3} - c} \right) + \left( {{d^3} - d} \right)\)
\( = \left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 1} \right)b\left( {b + 1} \right) + \left( {c - 1} \right)c\left( {c + 1} \right) + \left( {d - 1} \right)d\left( {d + 1} \right)\) chia hết cho 3.
Suy ra \(a + b + c + d\) chia hết cho 3 .
Mà 3 là số nguyên tố, do đó \({(a + b + c + d)^2}\) chia hết cho 9.

b) Xét đa thức \(P\left( x \right) = {(x + 1)^{2024}}\).
Khi đó, ta có \(:P\left( {{x^2} - 2} \right) = {\left( {{x^2} - 2 + 1} \right)^{2024}} = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{2024}}\).

\(P\left( {{x^2} - 2} \right) = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{2024}} = {(x - 1)^{2024}}{(x + 1)^{2024}}{\rm{\;}}\) chia hết cho \(P\left( x \right) = {(x + 1)^{2024}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link