Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = xyz\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{1 + \sqrt {1 +

Câu hỏi số 690397:

Vận dụng cao

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = xyz\).

Chứng minh rằng: \(\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \dfrac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \dfrac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} \le xyz.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690397

Giải chi tiết

Ta có: \(x + y + z = xyz \Leftrightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{zx}} + \dfrac{1}{{xy}} = 1\)

\(VT(*) = \dfrac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \dfrac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \dfrac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \sqrt {\dfrac{{1 + {x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{1 + {y^2}}}{{{y^2}}}} + + \sqrt {\dfrac{{1 + {z^2}}}{{{z^2}}}} \)

Xét \(\sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}} + 1} = \sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{zx}} + \dfrac{1}{{xy}}} \)

\( = \sqrt {\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right)} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\) (dấu bằng xảy ra khi \(y = z)\)

Tương tự: \(\sqrt {\dfrac{1}{{{y^2}}} + 1} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right)\) (dấu bằng xảy ra khi \(z = x)\)

\(\sqrt {\dfrac{1}{{{z^2}}} + 1} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{2}{z} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x}} \right)\) (dấu bằng xảy ra khi \(y = x)\)

\(\begin{array}{l}VT\,(*) \le \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\end{array}\)

Vậy ta phải chứng minh \(3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \le xyz\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3(xy + yz + zx) \le {(xyz)^2}\\ \Leftrightarrow 3(xy + yz + zx) \le {(x + y + z)^2}\\ \Leftrightarrow 3(xy + yz + zx) \le {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2(xy + yz + zx)\\ \Leftrightarrow xy + yz + zx \le {x^2} + {y^2} + {z^2}\\ \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) \le 2({x^2} + {y^2} + {z^2})\\ \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(y - z)^2} + {(z - x)^2} \ge 0\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \(x = y = z = \sqrt 3 \)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link