1) Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {{x^2} + 2x + 2021} \right)^{2024}}\) tại \(x = \sqrt

Câu hỏi số 690462:

Vận dụng

1) Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {{x^2} + 2x + 2021} \right)^{2024}}\) tại \(x = \sqrt {\dfrac{2}{{x - \sqrt {15} }}} - \dfrac{4}{{\sqrt 5 - 1}}\)

2) Giải phương trình \(2{x^2} + 2x - 1 = 3x\sqrt {2x - 1} .\)

3) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^3} = 2x + 4y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{2{x^3} + {y^3} = 3x + 3y\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690462

Phương pháp giải

1) Áp dụng \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).

2) Đặt \(t = \sqrt {2x - 1} \ge 0\), từ đó đưa phương trình ban đầu thành phương trình tích.

3) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế.

Giải chi tiết

1) Ta có:

\(x = \;\sqrt {\dfrac{2}{{4 - \sqrt {15} }}} - \dfrac{4}{{\sqrt 5 - 1}}\)\( = \sqrt {8 + 2\sqrt {15} } - \dfrac{{4\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}\)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \left( {\sqrt 5 + 1} \right)\)

\( = \sqrt 5 + \sqrt 3 - \sqrt 5 - 1 = \sqrt 3 - 1\)

Suy ra \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 2\)

Do đó \(P = {\left( {{x^2} + 2x + 2021} \right)^{2024}} = {2023^{2024}}.\)

2) Điều kiện: \(x \ge \dfrac{1}{2}.\)

Đặt \(t = \sqrt {2x - 1} \ge 0\), phương trình đã cho trở thành

\(2{x^2} + {t^2} = 3xt \Leftrightarrow {t^2} - 3xt + 2{x^2} = 0\; \Leftrightarrow \left( {t - x} \right)\left( {t - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = x}\\{t = 2x}\end{array}} \right.\)

Với \(t = x,\;x \ge \dfrac{1}{2}\) nên \(\sqrt {2x - 1} = x \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = 1.\)

Với \(t = 2x,\;x \ge \dfrac{1}{2}\) nên \(\sqrt {2x - 1} = 2x \Leftrightarrow 2x - 1 = 4{x^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 2x + 1 = 0,\) phương trình vô nghiệm do \(\Delta ' < 0\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ 1 \right\}.\)

3) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được

\({x^3} - {y^3} = - x + y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + x - y = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\) do \({x^2} + xy + {y^2} + 1 = {\left( {x + \dfrac{y}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{y^2}}}{4} + 1 > 0,\;\forall x,y\)

Thay \(y = x\;\) vào phương trình (1), ta được \(3{x^3} = 6x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\;\;\;\;\;\;}\\{x = \pm \sqrt 2 .}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\left( {0;} \right);(\sqrt 2 ;\sqrt 2 ;( - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link