Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \((O),\) các đường cao \(BE\) và
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \((O),\) các đường cao \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(S\) là giao điểm của đường thẳng \(BC\) và \(EF;\) \(I\) là giao điểm của \(SA\) và đường tròn \((O)\) (với \(I\) khác \(A\)).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(AFHE\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(SF.SE = SI.SA\) và \(HI \bot SA.\)
c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) kẻ đường kính \(AD\) của \((O).\) Chứng minh ba điểm \(H,\,M,\,D\) thẳng hàng và \(H\) là trực tâm tam giác\(ASM.\)
d) Giả sử \(T\) là điểm nằm trên đoạn thẳng \(HC\) sao cho \(AT\) vuông góc với \(BT.\) Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(IST\) và tam giác \(ECT\) tiếp xúc với nhau.
Quảng cáo
Áp dụng các tính chất của hình học để chứng minh.
a) Ta có: \(\angle {BEA} = \angle {CFA} = 90^\circ \) (giả thiết)
\( \Rightarrow \angle {HEA} = \angle {HFA} = {90^0}\) hay \(\angle {HEA} + \angle {HFA} = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(AFHE\) nội tiếp.
b) * Chứng minh \(SF.SE = SI.SA\)
Tứ giác \(BCEF\) nội tiếp (vì có hai đỉnh E và F cùng nhìn BC dưới một góc vuông)
\( \Rightarrow \angle {SFB} = \angle {BCE}\) (cùng bù với \(\angle {BFE})\) hay \( \Rightarrow \angle {SFB} = \angle {SCE}\)
Có \(\angle {FSB} = \angle {CSE}\)
\( \Rightarrow \Delta SFB\)~\(\Delta SCE\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{SF}}{{SC}} = \dfrac{{SB}}{{SE}} \Rightarrow SF.SE = SB.SC\,\,\,\,\,\,(1)\)
Ta lại có: \(\angle {IAB} = \angle {ICB}\) (cùng chắn cung \(IB\)của \((O)\)) hay \(\angle {SAB} = \angle {ICS}\)
\( \Rightarrow \Delta SBA\)~ \(\Delta SIC\) (\(\angle {SAB} = \angle {ICS}\)và \(\angle S\) chung)
\( \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SB}}{{SI}} \Rightarrow SI.SA = SB.SC\,\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow SF.SE = SI.SA\,\)
* Chứng minh \(HI \bot SA.\)
Do\(SF.SE = SI.SA \Rightarrow \dfrac{{SF}}{{SI}} = \dfrac{{SA}}{{SE}}\)\( \Rightarrow \Delta SIE\)~\(\Delta SFA\)
\( \Rightarrow \angle {IAF} = \angle {IEF}\) mà \(\angle {IAF},\angle {\,IEF}\)cùng nhìn cạnh \(IF\)nên tứ giác \(AIFE\) nội tiếp đường tròn.
Mặt khác: tứ giác \(AFHE\) nội tiếp (câu a).
Hay các điểm I, A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.
\( \Rightarrow \)Tứ giác \(AIHE\) nội tiếp đường tròn mà \(\angle {HEA} = {90^o} \Rightarrow \angle {HIA} = {90^o}\)\( \Rightarrow HI \bot SA\).
c) * Chứng minh ba điểm \(H,\,M,\,D\) thẳng hàng
M là trung điểm của BC và AD là đường kính nên ta có:
\(BH//CD\)(cùng \( \bot AC)\)và \(CH//BD\)(cùng \( \bot AB)\)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(BC\) và \(DH\)cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường hay \(H,\,M,\,D\) thẳng hàng (3)
* Chứng minh \(H\) là trực tâm tam giác\(ASM.\)
Ta có: \(IH \bot IA\) (câu b) và \(DI \bot IA\) (góc \(\angle {AID} = {90^o})\)\( \Rightarrow DI\) trùng \(IH\) hay \(H,\,I,\,D\) thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow M,\,D,\,H,\,I\) thẳng hàng
\( \Rightarrow MH \bot SA\,\,\,\,\,\,\,(5)\)
Mặt khác: \(AH \bot BC\) (AH là đường cao thứ 3 của tam giác ABC) (6)
Từ (5) và (6) \( \Rightarrow H\) là trực tâm \(\Delta ASM.\)
d) Ta chứng minh được
\(A{T^2} = AI.AS \Rightarrow AT\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IST\,\,\,(7)\)
\(A{T^2} = AE.AC \Rightarrow AT\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ECT\,\,\,(8)\)
Từ (7) và (8) \( \Rightarrow AT\)là tiếp tuyến chung hay hai đường tròn hay hai đường tròn ngoại tiếp của tam giác ITS và tam giác ECT tiếp xúc với nhau.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
