1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} - 5xy + 2x - y - 3 = 0.\)2) Cho hai số tự nhiên

Câu hỏi số 690473:

Vận dụng

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} - 5xy + 2x - y - 3 = 0.\)

2) Cho hai số tự nhiên \(m,n\) thỏa mãn \({m^2} + m = 2{n^2} + n.\) Chứng minh rằng \(m + n + 1\) là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690473

Phương pháp giải

1) Đưa về dạng phương trình tích và chia các trường hợp.

2) Gọi \(d = \left( {m - n,m + n + 1} \right)\) với \(d \in {\mathbb{N}^*}\). Từ đó chứng minh \(\left( {m - n,m + n + 1} \right) = 1.\)

Giải chi tiết

1) Ta có \(2{x^2} + 2{y^2} - 5xy + 2x - y - 3 = 0.\)

\( \Leftrightarrow (x - 2y + 1)(2x - y) = 3\)

*\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = - 3\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 4\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{7}{3}\end{array} \right.\) (không thoả mãn)

*\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 3\\2x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 2\\2x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1\end{array} \right.\) (nhận)

*\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 1\\2x - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\2x - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)(nhận)

*\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = - 1\\2x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 2\\2x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{4}{3}\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) (không thoả mãn)

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là \((0; - 1),(2;1)\).

2) Ta có \({m^2} + m = 2{n^2} + n \Leftrightarrow \left( {m - n} \right)\left( {m + n + 1} \right) = {n^2}\,\,\,\left( * \right)\)

Gọi \(d = \left( {m - n,m + n + 1} \right)\) với \(d \in {\mathbb{N}^*}\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - n} \right) \vdots d\\\left( {m + n + 1} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {m - n} \right)\left( {m + n + 1} \right) \vdots {d^2}\) \( \Rightarrow {n^2} \vdots {d^2} \Rightarrow n \vdots d.\)

Vì \(\left( {m - n} \right) \vdots d \Rightarrow m \vdots d \Rightarrow \left( {m + n} \right) \vdots d\) mà \(\left( {m + n + 1} \right) \vdots d\) nên \(1 \vdots d \Rightarrow d = 1\)

Do đó \(\left( {m - n,m + n + 1} \right) = 1.\) Từ (*) ta được \(m - n\) và \(m + n + 1\) là số chính phương.

Vậy \(m + n + 1\) là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link