1) Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a + b + c \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 690474:

Vận dụng cao

1) Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a + b + c \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{2023}}{{ab + bc + ca}}.\)

2) Cho một đa giác đều có 23 đỉnh. Tô màu các đỉnh của đa giác bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tồn tại ba đỉnh của đa giác được tô cùng màu và tạo thành một tam giác cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690474

Giải chi tiết

1) * Ta có \(P = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{2}{{ab + bc + ca}} + \dfrac{{2021}}{{ab + bc + ca}}\)

\( = \left( {\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{4}{{2ab + 2bc + 2ca}}} \right) + \dfrac{{2021}}{{ab + bc + ca}}\)

Áp dụng BĐT quen thuộc \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{x + y}},{(a + b + c)^2} \ge 3(ab + bc + ca)\)

\( \Rightarrow P \ge \dfrac{{{{\left( {1 + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} + \dfrac{{2021}}{{\dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}}} \ge 9 + \dfrac{{2021}}{{\dfrac{1}{3}}} = 6072\)

Vậy \({P_{\min }} = 6072 \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}\).

2) Ta có đa giác có 23 đỉnh, do đó phải tồn tại 2 đỉnh kề nhau là \(P\) và \(Q\) được tô cùng màu (Theo nguyên lý Đirichlet), giả sử \(P\) và \(Q\) cùng được tô màu xanh.

Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh lẻ nên phải tồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(PQ\). Giả sử đỉnh đó là \(A\).

Nếu \(A\) tô màu xanh thì ta có tam giác \(APQ\) là tam giác cân có ba đỉnh \(A,P,Q\) được tô cùng màu

Nếu \(A\) tô màu đỏ, lúc đó gọi \(B\) và \(C\) là các đỉnh khác nhau của đa giác kề với \(P\) và \(Q\).

Nếu cả hai đỉnh \(B\) và \(C\) được tô màu đỏ thì tam giác \(ABC\) cân và có ba đỉnh cùng màu đỏ

Nếu ngược lại, một trong hai đỉnh \(B\) và \(C\) được tô màu xanh thì tam giác \(BPQ\) hoặc tam giác \(CPQ\) là tam giác cân có ba đỉnh cùng màu xanh.

Vậy trong mọi trường hợp luôn chọn ra được ba đỉnh của đa giác được đánh dấu giống nhau và tạo thành một tam giác cân.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link