Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\), các đường cao \(AD,\,BE,\,CF\) (\(D \in
Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\), các đường cao \(AD,\,BE,\,CF\) (\(D \in BC,\,E \in CA,\,F \in AB\)). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \((O)\) cắt \(DF\) tại \(M\), \(MC\) cắt \((O)\) tại \(I\) khác \(C\), \(IB\) cắt \(MD\) tại \(N\).
a) Chứng minh rằng \(MA//EF\).
b) Chứng minh rằng \(\Delta MAF\) cân, tứ giác \(AINF\) nội tiếp.
c) Chứng minh rằng \(M{A^2} = MN.MD\).
d) Gọi \(K\) là giao điểm của \(CF\) và đường tròn \((O)\). Chứng minh rằng \(A,N,K\) thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Ta có \(\angle {BFC} = \angle {BEC} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BFEC\) nội tiếp suy ra \(\angle {AFE} = \angle {ACB}\) (góc ngoài của tứ giác nội tiếp bằng góc trong không kề với nó).
Lại có \(\angle {ACB} = \dfrac{1}{2}\)sđ cung\(AB\) nên \(\angle {AFE} = \dfrac{1}{2}\)sđ cung\(AB\).
Theo giả thiết \(MA\) là tiếp tuyến nên \(\angle {MAB} = \dfrac{1}{2}\)sđ cung\(AB\).
Từ đó suy ra \(\angle {AFE} = \angle {MAB}\). Hai góc này ở vị trí so le trong nên \(MA//EF\).
b) Theo giả thiết \(\angle {AFC} = \angle {ADC} = 90^\circ \) nên tứ giác \(AFDC\) nội tiếp suy ra \(\angle {ACB} = \angle {BFD}\)(góc ngoài của tứ giác nội tiếp bằng góc trong không kề với nó).
Theo chứng minh trên \(\angle {ACB} = \angle {MAB}\)
\(\angle {BFD} = \angle {MFA}\) (đối đỉnh).
Từ đó ta có \(\angle {MAB} = \angle {MFA}\) nên \(\Delta MAF\) cân tại \(M\).
Theo chứng minh trên \(\angle {ACB} = \angle {MAB}\)
\(\angle {BFD} = \angle {MFA}\) (đối đỉnh).
Từ đó ta có \(\angle {MAB} = \angle {MFA}\) nên \(\Delta MAF\) cân tại \(M\).
Theo chứng minh trên \(\angle {ACB} = \angle {BFD} = \angle {MFA}\) suy ra \(\angle {AIB} + \angle {MFA} = 180^\circ \) nên tứ giác \(AINF\) nội tiếp.
c) Ta thấy tứ giác \(AIBC\) nội tiếp nên \(\angle {AIB} + \angle {ACB} = 180^\circ \).
Vì tứ giác \(AINF\) nội tiếp nên \(\angle {MNI} = \angle {BAI}\)
\(\angle {BAI} = \angle {BCI}\) (cùng chắn cung \(BI\) của \((O)\)). Suy ra \(\angle {MNI} = \angle {BCI}\) nên tứ giác \(INDC\) nội tiếp.
Ta có \(MN.MD = MI.MC\)
Mặt khác \(MA\) là tiếp tuyến của \((O)\) nên \(MI.MC = M{A^2}\).
Từ đó ta có \(M{A^2} = MN.MD\).
d) Ta có \(M{A^2} = MN.MD\) suy ra \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AND\) nên \(\angle {MAN} = \angle {MDA}\)
Lại có \(\angle {MDA} = \angle {FDA} = \angle {ACK}\) (vì \(AFDC\) nội tiếp)
\(\angle {ACK} = \angle {MAK} = \dfrac{1}{2}\)sđ cung\(AK\).
Từ đó suy ra \(\angle {MAN} = \angle {MAK}\) nên \(A,N,K\) thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
