Cho các số phức \(w,\,\,z\) thỏa mãn \(\left| {w + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(5w = \left( {2 +

Câu hỏi số 690865:

Vận dụng cao

Cho các số phức \(w,\,\,z\) thỏa mãn \(\left| {w + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(5w = \left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z - 5 - 2i} \right|\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {14;15} \right)\).

B. \(\left( {16;17} \right)\).

C. \(\left( {12;13} \right)\).

D. \(\left( {13;14} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690865

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R}\)

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}5w = \left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right)\\ \Leftrightarrow 5w = z\left( {2 + i} \right) - 8 - 4i\\ \Leftrightarrow 5w + 5i = z\left( {2 + i} \right) - 8 + i\\ \Leftrightarrow {\left| {5\left( {w + i} \right)} \right|^2} = {\left| {2a - b - 8 + \left( {a + 2b + 1} \right)i} \right|^2}\\ \Leftrightarrow 45 = {\left( {2a - b - 8} \right)^2} + {\left( {a + 2b + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 5{a^2} + 5{b^2} - 30a + 20b + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6a + 4b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 9\end{array}\)

Khi đó \(M \in \left( C \right)\), \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 3\)

Ta có: \(P = MA + MB\) với \(A\left( {1;2} \right),\,\,B\left( {5;2} \right)\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M{K^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} \Rightarrow 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 4M{K^2} + A{B^2} = 4M{K^2} + 16\)

Ta có: \(MA + MB \le \sqrt {2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)} = \sqrt {\left( {4M{K^2} + 16} \right)} \le \sqrt {4{{\left( {IK + R} \right)}^2} + 16} = \sqrt {4{{\left( {4 + 3} \right)}^2} + 16} = 2\sqrt {53} \)

Suy ra \(P \le 2\sqrt {53} \)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\\overline {M,\,\,I,\,\,K} \end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.