Xét các số thực \(x > y\) và \(xy < 1\) thỏa mãn \({3^{{x^2} + {y^2} - 2}}.{\log _2}\left( {x - y}

Câu hỏi số 690866:

Vận dụng cao

Xét các số thực \(x > y\) và \(xy < 1\) thỏa mãn \({3^{{x^2} + {y^2} - 2}}.{\log _2}\left( {x - y} \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {1 - xy} \right)} \right]\). Khi biểu thức \(M = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(x.y\) bằng

A. \( - 1\).

B. \( - \dfrac{1}{2}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690866

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{3^{{x^2} + {y^2} - 2}}.{\log _2}\left( {x - y} \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {1 - xy} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {3^{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2xy - 2}}.2{\log _2}\left( {x - y} \right) = {\log _2}\left( {2 - 2xy} \right)\\ \Leftrightarrow {3^{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}.{\log _2}{\left( {x - y} \right)^2} = {3^{2 - 2xy}}.{\log _2}\left( {2 - 2xy} \right) & \left( * \right)\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = {3^t}.{\log _2}t\,\,\left( {t > 0} \right)\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3.{\log _2}t + {3^t}.\dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0,\,\,\forall t > 0\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = 2 - 2xy \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 2 + 2xy \Rightarrow xy = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2}}{2}\)

Vì \(xy < 1 \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2}}{2} < 1 \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} < 4 \Rightarrow - 2 < x + y < 2\)

Khi đó \(M = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy = 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right] - 3xy = 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3\left( {x + y} \right)\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2}}{2}} \right] - 3.\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2}}{2}\)

Đặt \(t = x + y,\,\,t \in \left( { - 2;2} \right)\)

Khi đó \(M = 2\left[ {{t^3} - 3t\dfrac{{{t^2} - 2}}{2}} \right] - 3\dfrac{{{t^2} - 2}}{2} = - {t^3} - \dfrac{{3{t^2}}}{2} + 6t + 3\)

Xét \(g\left( t \right) = - {t^3} - \dfrac{{3{t^2}}}{2} + 6t + 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'\left( t \right) = - 3{t^2} - 3t + 6\\g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\max g\left( t \right) = \dfrac{{13}}{2}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x + y = 1 \Rightarrow xy = - \dfrac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.