Xét các số thực \(x > y\) và \(xy < 1\) thỏa mãn \({3^{{x^2} + {y^2} - 2}}.{\log _2}\left( {x - y}
Xét các số thực \(x > y\) và \(xy < 1\) thỏa mãn \({3^{{x^2} + {y^2} - 2}}.{\log _2}\left( {x - y} \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {1 - xy} \right)} \right]\). Khi biểu thức \(M = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(x.y\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Ta có:
\(\begin{array}{l}{3^{{x^2} + {y^2} - 2}}.{\log _2}\left( {x - y} \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {1 - xy} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {3^{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2xy - 2}}.2{\log _2}\left( {x - y} \right) = {\log _2}\left( {2 - 2xy} \right)\\ \Leftrightarrow {3^{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}.{\log _2}{\left( {x - y} \right)^2} = {3^{2 - 2xy}}.{\log _2}\left( {2 - 2xy} \right) & \left( * \right)\end{array}\)
Xét \(f\left( t \right) = {3^t}.{\log _2}t\,\,\left( {t > 0} \right)\)
\( \Rightarrow f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3.{\log _2}t + {3^t}.\dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0,\,\,\forall t > 0\)
Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = 2 - 2xy \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 2 + 2xy \Rightarrow xy = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2}}{2}\)
Vì \(xy < 1 \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2}}{2} < 1 \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} < 4 \Rightarrow - 2 < x + y < 2\)
Khi đó \(M = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy = 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right] - 3xy = 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3\left( {x + y} \right)\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2}}{2}} \right] - 3.\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2}}{2}\)
Đặt \(t = x + y,\,\,t \in \left( { - 2;2} \right)\)
Khi đó \(M = 2\left[ {{t^3} - 3t\dfrac{{{t^2} - 2}}{2}} \right] - 3\dfrac{{{t^2} - 2}}{2} = - {t^3} - \dfrac{{3{t^2}}}{2} + 6t + 3\)
Xét \(g\left( t \right) = - {t^3} - \dfrac{{3{t^2}}}{2} + 6t + 3\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'\left( t \right) = - 3{t^2} - 3t + 6\\g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\max g\left( t \right) = \dfrac{{13}}{2}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x + y = 1 \Rightarrow xy = - \dfrac{1}{2}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
