1) Cho 9 hình vuông có độ dài các cạnh là 9 số nguyên dương liên tiếp. Gọi \(S\) là tổng diện

Câu hỏi số 691164:

Vận dụng cao

1) Cho 9 hình vuông có độ dài các cạnh là 9 số nguyên dương liên tiếp. Gọi \(S\) là tổng diện tích của 9 hình vuông đã cho. Tồn tại hay không một hình vuông có cạnh là một số nguyên dương và có diện tích bằng \(S\)?

2) Vẽ bất kì 17 đường tròn, mỗi đường tròn có độ dài đường kính là một số nguyên dương. Chứng minh rằng trong 17 đường tròn đó, ta luôn chọn được 5 đường tròn có tổng độ dài các đường kính là một số chia hết cho 5.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:691164

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1) Gọi độ dài cạnh 9 hình vuông đó lần lượt là \(a - 4,a - 3,a - 2,a - 1,a,a + 1,a + 2,a + 3,a + 4\left( {a \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},a > 4} \right)\)

Khi đó \(S = {(a - 4)^2} + {(a - 3)^2} + \ldots + {(a + 4)^2} = 9{a^2} + 60\)
Giả sử tồn tại hình vuông thoả mãn đề. Gọi độ dài cạnh hình vuông đó là \(k\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\)
Khi đó \({k^2} = 9{a^2} + 60\). Do \(3\mid 9{a^2} + 60\) nên \(3\mid {k^2}\) do đó \(3\mid k\) suy ra \(9\mid {k^2}\) mà \(9\mid 9{a^2}\) nên \(9\mid 60\) (vô lí) Vậy không tồn tại hình vuông thoả mãn đề.

2) Gọi độ dài đường kính 17 đường tròn đó lần lượt là \({a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{17}}\left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{17}} \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\)
Chia 17 số trên thành các tập \({A_i}\) trong đó \({A_i}\) là tập các số chia 5 dư \(i\left( {{\rm{i}} = \overline {0,4} } \right)\). Nếu có 1 tập nào đó chứa nhiều hơn 5 số thì tổng 5 số đó chia hết cho 5 . Còn nếu mọi tập đều chứa ít hơn 5 phần tử, xét 4 tập bất kì, khi đó tổng số phần tử 4 tập này không quá 16 phần tử, do đó có ít nhất 1 phần tử thuộc vào tập còn lại, vậy 5 ta có 5 phần tử thuộc 5 tập khác nhau nên tổng 5 số này chia hết cho 5.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link