Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\angle {ABC} = \angle {ADC} = 90^\circ ,BC = CD\). Gọi \(M\) là trung điểm của

Câu hỏi số 691165:

Vận dụng cao

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\angle {ABC} = \angle {ADC} = 90^\circ ,BC = CD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), đường tròn tâm \(C\) bán kính \(BC\) (ký hiệu là đường tròn \(\left( C \right)\)) cắt \(MD\) tại \(E\left( {E \ne D} \right)\), \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta MEB\)~ \(\Delta MBD\) và tứ giác \(BHEM\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AE\) và đường tròn \(\left( C \right)\) \(\left( {F \ne E} \right)\). Chứng minh rằng \(BC \bot DF\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BC\) và đường tròn \(\left( C \right)\) \(\left( {I \ne B} \right)\), \(J\) là giao điểm của\(AI\) và \(DF\). Tính tỉ số \(\dfrac{{DJ}}{{DF}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:691165

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất của hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Vì \(CB = CD\) nên \(D \in \left( C \right)\)

Vì \(MB \bot BC\) nên \(MB\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)
Xét \(\Delta MEB\) và \(\Delta MBD\) có:
\(\angle EMB\) là góc chung
\(\angle MBE = \angle MDB\) (cùng chắn cung \({\rm{BE}}\) )
Do đó \(\Delta MEB\)~ \(\Delta MBD\left( {g.g} \right)\)
Ta có \(\Delta ABC = \Delta ADC\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông) nên \(AB = AD\), do đó \(AC\) là đường trung trực của \(BD\) nên \(AC \bot BD\)
Vì \(\Delta AHB\) vuông tại \(H,MA = MB\) nên \(MH = \dfrac{1}{2}AB = MB\) do đó \(\Delta MBH\) cân tại \(M\)
Suy ra \(\angle MEB = \angle EDB + \angle EBD = \angle EBD + \angle MBE = \angle MBH = \angle MHB\) suy ra tứ giác \(MEHB\) nội tiếp
b) Vì \(\Delta MEB\)~ \(\Delta MDB\) nên \(ME \cdot MD = M{B^2} = M{A^2}\) (Do \(M\) là trung điểm \(AB\) )
Từ đây suy ra \(\dfrac{{ME}}{{MA}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}\) nên \(\Delta MEA\)~ \(\Delta MAD\) (c.g.c)
Do đó \(\angle MDA = \angle MAE\) (1)
Mặt khác, do \(B\) và \(D\) đối xứng với nhau qua \(AC\) nên \(AD\) cũng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\). Suy ra \(\angle MDA = \angle EFD\) (cùng chắn cung \({\rm{ED}}\)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle MAE = \angle EFD\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên \(AB//DF\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot DF\)

c) Gọi \(N\) là giao điểm của \(BI\) và \(DF\). Vì \(BC \bot DF\) (câu 2 ) nên \(N\) là trung điểm \(DF\)

Vì \(AC//DI\left( { \bot BD} \right)\) nên \(\angle ACB = \angle DIN\)
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DNI\), ta có:

\(\angle ACB = \angle DIN\)

\(\angle ABC = \angle DNI = 90^\circ \)

Do đó \(\Delta ABC\)~ \(\Delta DNI\) suy ra \(\dfrac{{DN}}{{AB}} = \dfrac{{NI}}{{BC}}\)
Vì \(NJ//AB\left( { \bot BI} \right)\) nên theo hệ quả của định lý Thales, ta có:
\(\dfrac{{NJ}}{{AB}} = \dfrac{{NI}}{{BI}}\left( 4 \right)\) Chia vế theo vế (3) và (4), ta có:
\(\dfrac{{DN}}{{NJ}} = \dfrac{{BI}}{{BC}} = 2\) suy ra \(J\) là trung điểm \(DN\), kết hợp với \(N\) là trung điểm \(DF\) ta có được \(\dfrac{{DJ}}{{DF}} = \dfrac{1}{4}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link