1) Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( {2 - x} \right) = 5{x^2} - 8x + 3\)

Câu hỏi số 691163:

Vận dụng cao

1) Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( {2 - x} \right) = 5{x^2} - 8x + 3\) \(\left( 1 \right)\) với mọi số thực \(x\).

a) Trong đẳng thức \(\left( 1 \right)\), thay \(x\) bởi \(2 - x\) và ghi ra kết quả.

b) Giải phương trình \(f\left( x \right) = - 1\)

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 6{x^2} + 13x - 10 - \left( {x - y + 2} \right)\sqrt {x - y + 1} = 0\\\left( {3{x^2} + 18x - 2xy + 6y - {y^2}} \right)\sqrt {x - y + 6} - 24x - 8y = 0\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:691163

Phương pháp giải

1) Thay \(x\) bởi \(2 - x\) từ đó tìm được \(f\left( x \right)\) và giải \(f\left( x \right) = - 1\).

2) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

1) a) Trong (1), thay \(x\) bởi \(2 - x\), ta được

\(2f\left( {2 - x} \right) + 3f\left( x \right) = 5{(2 - x)^2} - 8\left( {2 - x} \right) + 3 = 5\left( {4 - 4x + {x^2}} \right) - 16 + 8x + 3\)

\( = 20 - 20x + 5{x^2} - 16 + 8x + 3 = 5{x^2} - 12x + 7\left( 2 \right)\)
b) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2f\left( x \right) + 3f\left( {2 - x} \right) = 5{x^2} - 8x + 3}\\{2f\left( {2 - x} \right) + 3f\left( x \right) = 5{x^2} - 12x + 7}\end{array}} \right.\)

\(\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5f\left( x \right) + 5f\left( {2 - x} \right) = 10{x^2} - 20x + 10}\\{2f\left( {2 - x} \right) + 3f\left( x \right) = 5{x^2} - 12x + 7}\end{array}} \right.\)

\(\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = 2{x^2} - 4x + 2}\\{2f\left( {2 - x} \right) + 3f\left( x \right) = 5{x^2} - 12x + 7}\end{array}} \right.\)

\(\; \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\)

Ta có: \(f\left( x \right) = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = - 1 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = - 1\) có nghiệm duy nhất \(x = 2\)

2) Điều kiện: \(x - y \ge - 1\)

\(\;\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = \left( {x - y + 2} \right)\sqrt {x - y + 1} \)

\(\; \Leftrightarrow {(x - 2)^3} + \left( {x - 2} \right) = {(\sqrt {x - y + 1} )^3} + \sqrt {x - y + 1} \left( 3 \right)\)

Đặt \(a = x - 2,b = \sqrt {x - y + 1} \left( {b \ge 0} \right)\), khi đó (3) trở thành:

\({a^3} + a = {b^3} + b \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + 1} \right) = 0\)

Vì \({a^2} + ab + {b^2} + 1 = {\left( {a + \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} + 1 > 0\) nên \(a = b\)
Hay \(x - 2 = \sqrt {x - y + 1} \left( 4 \right)\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {3x + y} \right)\left( {x - y + 6} \right)\sqrt {x - y + 6} - 8\left( {3x + y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3x + y} \right)\left[ {{{(\sqrt {x - y + 6} )}^3} - 8} \right] = 0\)
TH1: \(3x + y = 0 \Leftrightarrow y = - 3x\)
Thay vào (4), ta có: \(x - 2 = \sqrt {4x + 1} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{{x^2} - 8x + 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = 4 + \sqrt {13} \Rightarrow y = - 12 - 3\sqrt {13} } \right.\) (tmđk)
TH2: \({(\sqrt {x - y + 6} )^3} - 8 = 0 \Leftrightarrow x - y + 6 = 4 \Leftrightarrow x - y = - 2 < - 1\) (loại)
Vậy \(\left( {x,y} \right) = \left( {4 + \sqrt {13} , - 12 - 3\sqrt {13} } \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link