Cho các số thực \(x,y,z,t\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 691166:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,y,z,t\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = xy + xz + xt + yz + yt + 3zt\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:691166

Giải chi tiết

Quan sát biểu thức \(A\), ta có nhận xét đây là 1 biểu thức có tính đối xứng giữa \(x\) và \(y,t\) và \(z\). Mặt khác, để đánh giá \(A\) và tận dụng được giả thiết, ta nghĩ đến bất đẳng thức khá quen thuộc là \(xy \le \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\left( 1 \right)\), lưu ý rằng có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng biến đổi tương đương nên nó sẽ thoả điều kiện \(x,y,z,t\) là các số thực.

Vì biểu thức có tính đối xứng giữa \(x\) và \(y,t\) và \(z\) nên ta dự đoán dấu bằng sẽ xảy ra khi \(x = y = az = at\) trong đó \(a\) là một số thực mà ta phải đi tìm.
Dựa vào bất đẳng thức (1), ta có các đánh giá sau để thoả mãn dấu bằng:

\(xy \le \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\left( 2 \right)\)

\(axz \le \dfrac{{{x^2} + {a^2}{z^2}}}{2}\)

\(axt \le \dfrac{{{x^2} + {a^2}{t^2}}}{2}\)

\(ayz \le \dfrac{{{y^2} + {a^2}{z^2}}}{2}\)

\(ayt \le \dfrac{{{y^2} + {a^2}{t^2}}}{2}\)

\(zt \le \dfrac{{{z^2} + {t^2}}}{2}\left( 3 \right)\)

Lại quan sát biểu thức \(A\) và đối chiếu với các đánh giá trên, ta thấy hệ số của các đánh giá chưa khớp với \(A\), nên ta sẽ nhân cả biểu thức \(A\) với hệ số \(a\) và nhân (2) với \(a\), nhân (3) với \(3a\), khi đó ta thu được
\(aA = axy + axz + axt + ayz + ayt + 3azt \le a\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2} + {a^2}{z^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2} + {a^2}{t^2}}}{2} + \dfrac{{{y^2} + {a^2}{z^2}}}{2} + \dfrac{{{y^2} + {a^2}{t^2}}}{2} + \) \(3a\dfrac{{{z^2} + {t^2}}}{2} = {x^2}\left( {\dfrac{a}{2} + 1} \right) + {y^2}\left( {\dfrac{a}{2} + 1} \right) + {z^2}\left( {{a^2} + \dfrac{{3a}}{2}} \right) + {t^2}\left( {{a^2} + \dfrac{{3a}}{2}} \right)\)
Để tận dụng được giả thiết, chúng ta cần có \(\dfrac{a}{2} + 1 = {a^2} + \dfrac{{3a}}{2}\)
Giải ra ta được \(a = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},a = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\), rõ ràng để bất đẳng thức được đúng chiều, ta sẽ chọn \(a\) dương, tức \(a = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Khi đó \(\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}A \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\) suy ra \(A \le \dfrac{{2 + \sqrt 5 }}{2}\)
(Dấu đẳng thức xảy ra khi \(x = y = \sqrt {\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{{20}}} ,z = t = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\sqrt {\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{{20}}} \) hoặc \(x = y = - \sqrt {\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{{20}}} ,z = t = \) \(\left. { - \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\sqrt {\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{{20}}} } \right)\)
Vậy GTLN của A là \(\dfrac{{2 + \sqrt 5 }}{2}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link