Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;4;5} \right),B\left( {3;4;0} \right)\),

Câu hỏi số 693526:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;4;5} \right),B\left( {3;4;0} \right)\), \(C\left( {2; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 3y - 2z - 12 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a + b + c\) bằng

A. 24.

B. 0.

C. 25.

D. 3.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:693526

Phương pháp giải

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\) (tâm tỉ cự) \( \Rightarrow I = \dfrac{{A + B + 3C}}{5}\)

\(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\)

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\) (*).

Ta có:

\(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x;4 - y;5 - z} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {3 - x;4 - y; - z} \right)\) và \(3\overrightarrow {IC} = \left( {6 - 3x; - 3 - 3y; - 3z} \right)\).

Từ (*) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - x + 3 - x + 6 - 3x = 0}\\{4 - y + 4 - y - 3 - 3y = 0}\\{5 - z - z - 3z = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\\{z = 1}\end{array} \Rightarrow I\left( {2;1;1} \right)} \right.} \right.\).

Khi đó: \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}\).

\(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}\).

\(3M{C^2} = 3{\overrightarrow {MC} ^2} = 3{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )^2} = 3\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC} + I{C^2}} \right)\).

Do đó: \(S = M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2} = 5M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}\).

Do \(I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}\) không đổi nên \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 3y - 2z - 12 = 0\).

Vectơ chỉ phương của \(IM\) là \(\vec n = \left( {3; - 3; - 2} \right)\).

Phương trình tham số của \(IM\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3t}\\{y = 1 - 3t}\\{z = 1 - 2t}\end{array},\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.\).

Gọi \(M\left( {2 + 3t;1 - 3t;1 - 2t} \right) \in \left( P \right)\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó: \(3\left( {2 + 3t} \right) - 3\left( {1 - 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) - 12 = 0 \Leftrightarrow 22t - 11 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\).

Suy ra: \(M\left( {\dfrac{7}{2}; - \dfrac{1}{2};0} \right)\). Vậy \(a + b + c = \dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{2} = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.