Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình

Câu hỏi số 695895:

Nhận biết

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng \(/{m^3}\). Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:695895

Phương pháp giải

- Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn \(S\), diện tích đáy bé \(S'\) và chiều cao \(h\) là \(V = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {S + S' + \sqrt {S \cdot S'} } \right) \cdot h\)

Giải chi tiết

Giả sử chân tháp là khối chóp cụt tứ giác đều \(ABCD.MNPQ\) với \(ABCD\) là hình vuông cạnh 5 m, \(MNPQ\) là hình vuông cạnh \(2m,AM = BN = CP = DQ = 3m\).

Vì \(DQ\), \(NB\) cắt nhau nên D, Q, N, B đồng phẳng.

Mà \((ABCD)//(MNPQ)\) nên \(NQ//BD\).

Gọi \(I\) là giao điểm của MP và NQ, O là giao điểm của AC và BD. Khi đó \(IO \bot (MNPQ),IO \bot (ABCD)\).

Xét hình thang QNBD, gọi \(H\) là hình chiếu của \(Q\) trên BD, K là hình chiếu của \(N\) trên BD.

Vì \(IO \bot BD,QH \bot BD,NK \bot BD\) trong \((QNBD)\) nên \(IO//QH//NK\).

Suy ra \(QH \bot (MNPQ),QH \bot (ABCD)\) nên QH bằng chiều cao của khối chóp cụt đều.

Ngoài ra, ta có \(QH = NK = IO\) và \(QD = NB\). Suy ra \(\Delta QHD = \Delta NKB\) nên ta có \(HD = BK\).

Bên cạnh đó, QNKH là hình chữ nhật nên \(QN = HK\). Từ đó ta có:

\(HD{\rm{ }} = \dfrac{{BD - HK}}{2} = \dfrac{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} - \sqrt {M{N^2} + M{Q^2}} }}{2}\)

\( = \dfrac{{\sqrt {{5^2} + {5^2}} - \sqrt {{2^2} + {2^2}} }}{2} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{m}}).\)

Xét tam giác QHD vuông tại \(H\) có:

\(QH = \sqrt {Q{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}(m){\rm{. }}\)

Diện tích của hai đáy là: \({S_{ABCD}} = A{B^2} = {5^2} = 25\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\),

\({S_{MNPQ}} = M{N^2} = {2^2} = 4\left( {{m^2}} \right){\rm{. }}\)

Suy ra thể tích của khối chóp cụt đều là:

\(V = \dfrac{1}{3}QH\left( {{S_{ABCD}} + \sqrt {{S_{ABCD}} \cdot {S_{MNPQ}}} + {S_{MNPQ}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}(25 + \sqrt {25 \cdot 4} + 4) = \dfrac{{39\sqrt 2 }}{2}\left( {{m^3}} \right).\)

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

\(1470000 \cdot \dfrac{{39\sqrt 2 }}{2} \approx 40538000\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.