Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = x{(x + 1)^2}\left( {{x^2} + 2mx + 1} \right)\) với

Câu hỏi số 696241:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = x{(x + 1)^2}\left( {{x^2} + 2mx + 1} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên âm \(m\) để hàm số \(g(x) = f(2x + 1)\) đồng biến trên khoảng \((3;5)\) ?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:696241

Giải chi tiết

Ta có: \({g^\prime }(x) = 2{f^\prime }(2x + 1) = 2(2x + 1){(2x + 2)^2}\left[ {{{(2x + 1)}^2} + 2m(2x + 1) + 1} \right]\)

Đặt \(t = 2x + 1\)

Để hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((3;5)\) khi và chi khi \({g^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (3;5)\)

\( \Leftrightarrow t\left( {{t^2} + 2mt + 1} \right) \ge 0,\forall t \in (7;11) \Leftrightarrow {t^2} + 2mt + 1 \ge 0,\forall t \in (7;11) \Leftrightarrow 2m \ge \dfrac{{ - {t^2} - 1}}{t},\forall t \in (7;11)\)

Xét hàm số \(h(t) = \dfrac{{ - {t^2} - 1}}{t}\) trên [7 ; 11], có \({h^\prime }(t) = \dfrac{{ - {t^2} + 1}}{{{t^2}}}\)

BBT:

Dựa vào BBT ta có \(2m \ge \dfrac{{ - {t^2} - 1}}{t},\forall t \in (7;11) \Leftrightarrow 2m \ge {\max _{[7;11]}}h(t) \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{{50}}{{14}}\) Vì \(m \in {\mathbb{Z}^ - } \Rightarrow m \in \{ - 3; - 2; - 1\} \).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.