Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = {x^2} + 2x - 3,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu

Câu hỏi số 696242:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = {x^2} + 2x - 3,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \([ - 10;20]\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right) + {m^2} + 1\) đồng biến trên \((0;2)?\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:696242

Giải chi tiết

Ta có \({f^\prime }(t) = {t^2} + 2t - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \le - 3}\\{t \ge 1}\end{array}(*)} \right.\).

Có \({g^\prime }(x) = (2x + 3){f^\prime }\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\)

Vì \(2x + 3 > 0,\forall x \in (0;2)\) nên \(g(x)\) đồng biến trên \((0;2) \Leftrightarrow {g^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (0;2)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {f^\prime }\left( {{x^2} + 3x - m} \right) \ge 0,\forall x \in (0;2)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 3x - m \le - 3,\forall x \in (0;2)}\\{{x^2} + 3x - m \ge 1,\forall x \in (0;2)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 3x \le m - 3,\forall x \in (0;2)}\\{{x^2} + 3x \ge m + 1,\forall x \in (0;2)}\end{array}\left( {^{**}} \right)} \right.\end{array}\)

Có \(h(x) = {x^2} + 3x\) luôn đồng biến trên \((0;2)\) nên từ \((**)\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 3 \ge 10}\\{m + 1 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 13}\\{m \le - 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in [ - 10;20]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array} \Rightarrow } \right.\) Có 18 giá trị của tham số \(m\).

Vậy có 18 giá trị của tham số \(m\) cần tìm.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.